Orthogonal&Orthonomiert |
| 04.08.2005, 11:29 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Orthogonal&Orthonomiert Komme mit der folgenden Aufgabe nicht weiter: Welcher Zusammenhang besteht zwischen orthogonalen (bzw. unitären) und orthonomierten Basen? Also ich weiß, dass orthogonal bedeutet, dass die die Vektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge hier beliebig ist. Für mich beudetet das in Bezug auf die orthogonalen Matrizen, dass sie das Senkrechte aufrecht erhalten. Orthonomiert ist ja auch wieder senkrecht zueinander aber mit Länge 1. Nun verstehe ich den Zusammenhang nicht, eine orthogonale Matrix besteht doch aus orthogonalen Basen, oder etwa nicht? Mhm, und wie ist das bei den unitären? Wäre lieb, wenn jemand hilft. Krümel |
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| 04.08.2005, 13:36 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Orthogonal&Orthonomiert
Du bezeichnest ja eine Menge von Vektoren als orthogonal, wenn alle Vektoren paarweise zueinander orthogonal sind. So, wenn jetzt zusätzlich alle dieser Vektoren die Norm 1 besitzen, dann nennt man das Orthonomiert bzw. Orthonormalsystem. Also, jetzt überleeg dochmal, wo hier der Zusammenhang (und vielleicht auch ein Unterschied) ist! Gruss, mercany /edit: Dir ist klar, dass das Orthonormalsystem eine Untermenge eines euklidischen Vektorraums ist, deren Elemente das Orthogonalsystem bilden?! |
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| 04.08.2005, 14:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bitte was? |
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| 04.08.2005, 14:28 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mhm, so wirklich hats noch nicht klick gemacht. Hab dich so verstanden, dass wenn ich eine orthogonale Matrix habe, dann sind die Vektoren auch orthogonal und wenn sie zusätzlich die Norm 1 haben, dann hat die orthogonale Matrix orthonomierte Vektoren. Nur das kann ich mir nun wirklich nicht vorstellen. Oder heißt es, dass die Vektoren orthogonal sind und insbesondere orthonomal? Und was meinst du mit deinem letzten Satz, den Loed scheinbar auch nicht so ganz verstanden hat? Richtige Aussage oder falsche? Krümel |
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| 04.08.2005, 14:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
redest du von orthogonalen matrizen oder basen? bei einer basis gilt einfach: orthogonal: alle vektoren stehen senkrecht orthonormal: orthogonal und zusätzlich haben alle basisvektoren "länge" 1 (d.h. norm 1) bei matrizen gilt: matrix A orthogonal: A*A^t=I orthonormale matrizen sagt mir grad nichts 
evtl. orthogonal plus determinante =1
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| 04.08.2005, 15:22 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal, ich hatte mich auf Base bezogen, nicht auf Matrizen! @ Jochen Orthonormalsystem bezeichnet doch die Unternmenge eines Innenproduktraums und dessen Elemente sind eben zueinander orthogonal mit Norm 1. Und so wie ich das irgendwann mal verstanden hatte, lässt sich eben auch jedes orthonormalsystem zu einer orthonormalbasis erweitern. Ich kenne nur orthogonale Matrizen, orthonormale nicht! Gruß, mercany |
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| 04.08.2005, 16:38 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Muss euch leider weiter nerven... Ich seh den Zusammenhang von orthogonalen Matrizen und orthonomalen Basen immer noch nicht. Aber es ist schon mal gut zu wissen, dass es keine orthonomalen Matrizen gibt, denn das war mir bis eben auch noch nicht bewußt... |
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| 04.08.2005, 17:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die zeilen bzw. spalten einer orthogonalen matrix bilden eine orthogonalbasis bzgl. des standardskalrproduktes schau dir doch einfach mal an, was b_i*b_j ist.... (die b seien deine zeilen (oder spalten), also das was ich als orthogonalbasisvektoren behaupte) beachte dabei, dass du b_i*b_j in dem matrizenprodukt A*A^t an bestimmter stelle findest.... stichwort kroneckerdelta (fluch der LA 
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| 04.08.2005, 18:33 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DANKE!!! Meine Denkblockade ist gelöst... |
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| 05.08.2005, 05:38 | schwarzbiber² | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heißt das dann auch das die Spalten einer orthogonalen bzw. unitären Matrix immer Norm eins haben? (sonst würden sie ja keine ONB bilden) Das hat mich immer verwirrt, denn wenn ja müsste es ja eigentlich Orthonormalmatrix heißen aber den Begriff scheint es nicht zu geben. |
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| 05.08.2005, 09:54 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@schwarzbilder Also: Wenn aus einer Menge von Vektoren, alle enthaltenen Vektoren paarweise zueinander orthogonal sind, dann nennt man das Orthogonal(-system) Und: Wenn jetzt zusätzlich alle Vektoren noch die Norm 1 haben, dann nennt man das Orthonormalsystem - sagten ich und LOED oben aber schonmal. Für orthogonal Matrizen gilt: - die Spaltenvektoren von A bilden ein Orthonormalsystem und die Zeilenvektoren auch. - A ist hierbei immer orthogonal Gruß, mercany |
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| 05.08.2005, 11:03 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nö, falsch jan
sie bilden im allgemeinen tatsächlich nur ein orthoGONALsystem (eine ausnahme ist zum beispiel die einheitsmatrix) edit: autsch, ich bin ne pfeife ist falsch, danke jan 
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| 05.08.2005, 11:08 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okey, nehme alles zurück was ich gesagt habe. dann hab ich wohl das von mir gelesene im kopf falsch interpretiert oder falsch im gedächnis behalten. sorry nochmal, und danke für den hinweis jochen!. |
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| 05.08.2005, 11:15 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
öhm, nein ich glaube, dieses mal habe ICH totalen unfug geredet wenn die standardnorm (wurzel aus dem StandardSKP mit sich selbst) gemeint ist, dann muss diese basis tatsächlich orthonormal sein auf der diagonalen von A*A^t stehen ja einser und nicht beliebige elemente 
entschuldigung, du hattest recht |
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| 05.08.2005, 11:19 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kein ding jochen! tortzdem danke, dass du einspruch erhoben hast - so hab ich dass für mich nochmal überleg und kontrolliert. und du weißt ja wie ich das sehe: lieber ein einspruch zu viel, als garkeiner! 
LG, Jan |
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