Produktformel für Determinaten

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Produktformel für Determinaten
Halli Hallo
Kann mir jemand mal ein paar Denkanstoße für den Beweis der Produktformel für Determinaten geben?
Weiß irgendwie nicht wie ich anfangen soll, die Eigenschaften als z.B. Linearität in den Zeilen?

Danke, MfG...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst den determinantenmultiplikationssatz, nehme ich an verwirrt
also seien A,B nxn-matrizen, dann ist det(AB)=det(A)*det(B)


nur als vorschlag: schreibe deine determinanten jeweils als summe über allen permutationen..... (wie das halt formal aussieht)
einmal über A und B (dann multiplizieren), einmal über AB (matrizenmultiplikation)

das sollte ineinander überführbar sein, ich weiß aber nicht, ob das spaß macht

mfg jochen



ps: wenn das zu kompliziert oder unsinn ist, dann Forum Kloppe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir ein Eindeutigkeitssatz für Determinantenfunktionen bekannt ist, kannst du dir das Indexgewurstel ersparen. Ist eine nichtreguläre -reihige Matrix, so ist für jede -reihige Matrix auch nichtregulär, so daß , also auch gilt.

Und bei regulärem betrachte die für -reihige Matrizen definierte Funktion



Zeige, daß als Funktion der Spalten von multilinear und alternierend ist. Nach dem Eindeutigkeitssatz muß bis auf einen multiplikativen konstanten Skalar die gewöhnliche Determinante sein:



Und wenn du speziell die Einheitsmatrix einsetzt, kannst du bestimmen. Es folgt der Determinantenmultiplikationssatz.

Zum Nachweis der Multilinearität von kannst du dich aus Gründen der Schreibvereinfachung o.B.d.A. auf die erste Spalte von beschränken, zum Nachweis des Alternierens auf die ersten beiden Spalten. Beachte auch, wenn die Zerlegung in Spalten ist, die simple, aber hier äußerst nützliche Regel




Edit
Und gerade fällt mir noch ein, daß die Fallunterscheidung nichtregulär/regulär für überflüssig ist, wenn man statt Obigem betrachtet.
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