Unterschied zwischen Stetig und Stetig ergänzbar

09.02.2008, 09:42

Topa

Unterschied zwischen Stetig und Stetig ergänzbar

Häy,

» Gibt es einen Unterschied zwischen Stetig und Stetig ergänzbar?«

Habe einschlägige Suchmaschienen befragt und bin nicht fündig geworden...
Gibt es einen Unterschied? - Wenn ja welchen?

Vielen Dank schonmal

09.02.2008, 10:16

therisen

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Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\setminus\{0\}\to \mathbb R,~x\mapsto f(x)=\frac{\sin x}x \end{eqnarray*}$ . Diese ist offensichtlich stetig - es ist aber nicht klar, ob sie sich zu einer stetigen Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortsetzen lässt. Tatsächlich ist dies möglich, indem man den Wert im Ursprung als 1 festlegt. Formal gesehen ersetzt man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to \mathbb R, g(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}x, &\text{falls } x\neq 0 \\ 1 , &\text{falls } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist g die eindeutig(!) bestimmte stetige Fortsetzung von f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} f\neq g \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

09.02.2008, 12:05

InSaNo

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Wenn ich hier noch eine Frage ergänzen dürfte, die gerade zum Thema passt.
Wir hatten bei unserem einträgigen Vorbereitungskurs zur Analysisklausur eine Fragestellung die nicht hinrechend beantwortet werden konnte, und zwar vollgendes:
Wir nehmen die von Dir definierte Funktion g, und betrachten sie auf dem Intervall von [-1, 1]. Da sie stetig ist, ist dies ein kompaktes Intervall und somit muss hier die Funktion gleichmäßig stetig sein (da gibt es doch einen Satz!).
Aber wie kann das sein, ich finde doch kein Delta für alle Epsilon, da die Funktion innerhalb des Intervalls extreme Steigungen entwickelt oder?

P.S. ich war dieses Jahr bei Dir in den Tutorübungen zu LA 1 und muss sagen Respekt, Du warst mit Abstand mein bester Tutor dieses Jahr, ich hoffe Du machst das nächstes Jahr für LA 2 nochmal! Ich war übrigens der Typ, der Dich am Freitag wegen der LA-Matrizenaufgabe gefragt hat (finden des Inversen).

Gruß InSaNo

09.02.2008, 12:07

Topa

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Freude

09.02.2008, 12:54

therisen

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Zitat:

Original von InSaNo
Wir nehmen die von Dir definierte Funktion g, und betrachten sie auf dem Intervall von [-1, 1]. Da sie stetig ist, ist dies ein kompaktes Intervall und somit muss hier die Funktion gleichmäßig stetig sein (da gibt es doch einen Satz!).
Aber wie kann das sein, ich finde doch kein Delta für alle Epsilon, da die Funktion innerhalb des Intervalls extreme Steigungen entwickelt oder?

Vorsicht bei der Argumentation: Das Intervall [-1,1] ist stets kompakt - unabhängig davon, welche Funktion man darauf definiert. Du meinst wohl, dass $\begin{eqnarray*} g([-1,1]) \end{eqnarray*}$ kompakt ist. Extreme Steigungen?

Es gilt $\begin{eqnarray*} g'(x)= \begin{cases}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}, &\text{falls } x\neq 0 \\ 0, &\text{falls } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. die Ableitung ist sogar stetig.

Zitat:

Original von InSaNo
P.S. ich war dieses Jahr bei Dir in den Tutorübungen zu LA 1 und muss sagen Respekt, Du warst mit Abstand mein bester Tutor dieses Jahr, ich hoffe Du machst das nächstes Jahr für LA 2 nochmal! Ich war übrigens der Typ, der Dich am Freitag wegen der LA-Matrizenaufgabe gefragt hat (finden des Inversen).

Danke, das hört man gerne. Ich werde versuchen, meine Tutorentätigkeit im nächsten Semester fortzusetzen.

09.02.2008, 15:40

InSaNo

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Ah ja da hab ich was verwechselt, ich glaube es ging um die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x*sin(1/x) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung lautet dann ja:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = sin(1/x) + cos(1/x)*(-1/x) \end{eqnarray*}$

und sieht so aus:

trotzdem ist f(x) glm stetig im Intervall [-1,1] weil es f([-1,1]) kompakt ist. Und hier entwickelt die Funktion wegen f'(x) = sin(1/x) + cos(1/x)*(-1/x) extreme Steigungen, wie also finde ich mein Delta für alle Epsilon?
Grüße InSaNo

09.02.2008, 15:44

InSaNo

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Nachtrag: Oder reicht mir einfach ein Delta > 2 weil die Amplituden von f(x) ja nie weiter ausschlagen, unabhängig von den Steigungen die entwickelt werden.

09.02.2008, 17:01

InSaNo

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Nachtrag 2:
genau heißt die Funktion g(x) stetig fortgesetzt wiefolgt:

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to \mathbb R, g(x)=\begin{cases}x*sin(1/x), &\text{falls } x\neq 0 \\ 0 , &\text{falls } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und die Ableitung ist halt nur auf R \ {0} definiert!

echt genial wie man in dem Forum Formeln und Graphen zeichen kann, bin noch am rumspielen hehe

09.02.2008, 17:09

therisen

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Die erste Ableitung, d.h. der "Anstieg" des Graphen spielt eigentlich hauptsächlich bei der Lipschitz-Stetigkeit eine Rolle. Ich kann schon verstehen, dass du den Beweis des Satzes von Heine etwas unbefriedigend findest - schließlich ist das ein Widerspruchsbeweis, der außerdem die Vollständigkeit der reellen Zahlen benutzt und folglich höchst unkonstruktiv ist. Du wirst aber selten in die Situation kommen, die $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Definition nachweisen zu müssen - und wenn, dann meist in ziemlich einfachen Fällen. Um trotzdem ein "intuitives" Verständnis entwickeln zu können, kannst du ja folgendes Bild genauer studieren: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Gleich...estetigkeit.png

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