Untervektorraum und Basis |
| 09.02.2008, 10:53 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Untervektorraum und Basis wir lernen gerade Mathe und wissen nicht was ein Basis und ein Untervektorraum ist?! Und wir haben noch eine Frage bezüglich der Notierung des Ergebnisses: Bei einer Aufgabe (Matrix lösen) muss man die Lösungsmenge in de Form L= y + tz angeben Wie macht man das? Wir haben das so gemacht: |
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| 09.02.2008, 11:23 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum schaut ihr dann nicht die Definition in eurem Skript nach? Das sollte erste Anlaufstelle sein. Die Angabe der Lösungsmenge ist prinzipiell richtig, in diesem Fall aber ist die Lösung wahrscheinlich falsch. a) ist x4 redundant da durch x1,x2,x3 darstellbar b) ist die Lösung der gesamte R^3, wodurch das Gleichungssystem 0x=0 sein muss. |
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| 09.02.2008, 11:25 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also die Lösung müsste eigentlich richtig sein, haben wir nun im Tutorium gefunden 
Die definition verstehen wir aber nicht, ist so mathematisch
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| 09.02.2008, 11:54 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt viele verschiedene Definitionen. Schreibe doch einmal welche ihr habt und was du genau daran nicht verstehst. Welches Gleichungssystem wurde den gelöst damit du auf diese Lösung kommst? |
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| 09.02.2008, 12:22 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey, wir wollen dass uns jemand mit normalen Worten die Basis und den Untervektorraum erklärt
Das GLS was gelöst wurde 1 0 1 2 2 2 1 3 3 2 1 2 1 4 4 Wir haben als Ergebnis: 1 0 0 4 5 0 1 0 1 1 0 0 1 -2 -3 ich hoffe du kannst das alles gut erkennen |
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| 09.02.2008, 12:41 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt einen Grund das die Mathematik formal ist 
Ich versuche es einmal, behalte aber immer im Hinterkopf dass das was ich jetzt schreibe nicht immer korrekt ist und du dich keinesfalls darauf beziehen solltest. Vielmehr solltest du dich durch diese abstrakten Definitionen selbst durchkämpfen und jedes Wort analysieren. Basis: Eine Menge an Vektoren so dass man mit diesen Vektoren, Addition und Skalarmultiplikation den ganzen Vektorraum bekommt, sprich alle Vektoren mit diesen Basisvektoren darstellen kann. Das besondere an einer Basis ist, das die Menge der Basisvektoren minimal ist, d.h. du findest nicht weniger Vektoren so dass du den Vektorraum komplett mit diesen Vektoren darstellen kannst(das ist die lineare Unabhängigkeit). Untervektorraum: Eine Teilmenge eines Vektorraums. Diese Teilmenge ist wieder ein Vektorraum, genügt also denselben Gesetzen wie auch ein Vektorraum. Wenn du eine Basis hast, und einige Basisvektoren davon rausnimmst bekommst du einen Untervektorraum. Umgekehrt erzeugt eine linear unabhängige Menge an Vektoren einen Untervektorraum. Zum Gleichungssystem: Offensichtlich hast du ein Gleichungssystem in 4 Variablen! Was du jetzt gemacht hast ist aus irgendeinem Grund die Spalten der Matrix zu nehmen und daraus eine Lösung zu basteln. Das ist falsch, das siehst du ja schon daran das deine Vektoren nur 3 Einträge für die 4 Variablen haben. Schreibe die Matrix doch wieder als (jetzt) vereinfachtes Gleichungssystem auf und schaue dann die Lösung an |
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| 09.02.2008, 12:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun, von "wollen" kann hier sowieso mal keine Rede sein. Dann könnt ihr gleich einpacken und gehen. Und was sind für euch "normale Worte"? Glaubt ihr, man kann Englisch lernen, wenn man nur Deutsch spricht? Natürlich kann man so eine Definition nur mathematisch formulieren. Auch erklären kann man die Begriffe nur, indem man Worte aus der mathematischen Sprache verwendet. Wenn euch das nicht gefällt, müsst ihr etwas anderes studieren. Es wurde euch bereits Hilfe angeboten:
Geht darauf ein! EDIT: Außerdem gehört dieses Thema nicht in dieses Unterforum. |
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| 10.02.2008, 10:46 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Kiste Also wir haben nun auch ne andere Lösung
X1= 4x4 +5 x2= 1x4 + 1 x3= -2x4-3 Leider kann ich es nicht formeleditor darstellen 
Also Untervektorraum hab ich wohl verstanden. ist einfach ein vektorraum, der etwas kleiner ist als der ursprüngliche Vektorraum. Richtig? Aber wofür braucht man den? Das mit der Basis hab ich noch nicht so richtig verstanden. ist das so ein bisschen was wie ein Stützvektor, nur größer und mehrere Stützvektoren? |
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| 10.02.2008, 11:07 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Prinzip schon. Nur MUSS er nicht kleiner sein. Es kann auch der Vektorraum sein, von dem man ausgeht. V ist ein Untervektorraum von V.
Wenn Objekte desöfteren vorkommen, dann ist es stets sinnvoll, dafür einen Begriff zu wählen.
Nein, eher sowas wie Richtungsvektoren einer Ebene, die den Nullpunkt enthält. Oder wie der Richtungsvektor einer Geraden, die durch den Nullpunkt verläuft. Diese Vorstellung trifft das Wesen einer Basis übrigens recht gut. Die Vektoren einer Basis eines Vektorraums V (hier z.B. die Ebene) spannen den Vektorraum (die Ebene) auf. |
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| 10.02.2008, 11:13 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also kann man mit den basisvektoren doch jeden Punkt in dieser Eben erreichen, oder? Wie errechnet man denn diesen Basisvektor? |
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| 10.02.2008, 11:38 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hey, müsste das dann nciht so sein, das es soviele Basisvektoren gibt, wie es auch dimensionen? Also wenn es R² ist, hat man zwei Basisvektoren, bei R³ hat man drei Basisvektoren? |
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| 10.02.2008, 12:19 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja das ist richtig. Die Dimension ist gerade definiert als die Anzahl der Basiselemente. Das dies wohldefiniert ist zeigt man normalerweise in einem Satz, den es ist nicht von vorneherein klar das es eine eindeutige Anzahl von Basiselementen gibt(wenns dich interessiert: Schwächst du die Skalarmult. von einem Körper auf einen Ring ein so bekommst du einen Modul. In diesem muss es nicht einmal eine Basis geben
).Und ja: Jeder Vektor deines Vektorraums wird durch die Basisvektoren "erreicht" |
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| 10.02.2008, 12:23 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
siehste, so meine cih das mit normalen Worten erklären 
Aber wie berechnet man die Basis? Edit: ISt die Dimension die du gerade beschrieben hast, die gleiche Dimension, wie die Dimension die man bei Matrizen ausrechnet. Hat das irgendwas ddamit zu tun? Nur so als Frage. |
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| 10.02.2008, 12:33 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Allgemeinen berechnet man keine Basis. Man kann nicht einmal immer eine richtig angeben(um zu beweisen das es immer eine gibt braucht man das Auswahlaxiom). Vllt. gibst du uns einmal ein Beispiel was du meinst mit Basis berechnen. Den Begriff der Dimension einer Matrix ist mir unbekannnt, wie ist der den definiert? |
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| 10.02.2008, 12:40 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey, Dimension einer Matrix ist die Spaltenzahl minus den Rang der Matrix. Alternativ ist die Diemension auch die Anzahl der unbestimmten Variablen in einer Matrix. Z.b. wenn du am Ende keine eindeutige Lösung rausbekommst, sondern die Lösung ist abhängig von x4 oder so. Unser Matheprof meinte wir sollen wissen was ne Basis ist im zusammenhang mit homogenen und imhomogen GLS |
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| 10.02.2008, 12:53 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok die Dimension einer Matrix ist also die Dimension der Lösung eines Gleichungssystems. Dabei gibt es 2 möglichkeiten: - Das Gleichungssystem ist homogen. Dann ist die Lösung gerade ein Untervektorraum, manche nennen ihn Nullraum oder Kern einer Matrix. Den Untervektorraum gibst als Linearkombination mit den Basiselementen des Untervektorraums an. - Das Gleichungssystem ist inhomogen Dann ist die Lösung ein sogenannter affiner Raum. Das ist ein Vektor + ein Untervektorraum. Der Vektor ist eine spezielle Lösung des Gleichunggssystems, der Untervektorraum derselbe den du auch beim Lösen des homogenen Systems bekommst. PS: darf ich fragen was du studierst? |
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| 10.02.2008, 16:27 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um mal Klarheit walten zu lassen: @Nachtstute: Die Dimension einer Matrix gibt es nicht. Zumindest definiert man diesen Begriff fuer Matrizen im allgemeinen nicht. Das, was du da beschreibst, ist die Dimension des Kerns der Matrix! Und nochwas: Es gibt nicht DIE Basis, denn es gibt zu jedem Vektorraum, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, unendlich viele Basen. |
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| 10.02.2008, 18:46 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey ich studiere Wirtschaftswissenschaften in Osnabrück an der Uni im ersten Semester. Und die Basis sind dann die Vektoren die variable sind, also bei einer 3x4 Matrix, die linear unabhängig ist, kommt am Ende z.b. x1 = 3 + 3 x4 x2 = 5 + x4 x3 = 0 + -1x4 heraus. Der Vektor wäre dann die Basis, richtig? @WebFritzi genau den Begriff der Dimension haben wir, bzw eunser Prof so definiert
Also ich kann dafür nichts 
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| 10.02.2008, 19:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie bitte? 
Bitte schreib nochmal die Definition hier rein. Genau so wie sie im Skript/deiner Mitschrift steht. Wie heisst dein Prof? |
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| 10.02.2008, 20:06 | Nachtstute | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey, also unser Prof heißt Spindler. Auf unserem Zettel, auf dem steht was wir für morgen können müssen, steht die Dimension einer Matrix und wir berechnen die in dem wir Spaltenzahl - Rang rechnen. Ob irgendwo im Script eine Definition steht, ka, da gucke ich nie rein 
Aber so haben wir das auch in den Tutorien gemacht! |
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