Kugelkalotte

09.02.2008, 11:15

greglemond

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Kugelkalotte

Hallo erstmals,

mich beschäftigt folgendes Problem. Ich habe eine Kreisfläche, welche sich idealer in der Art verbiegen kann, dass sie die Oberfläche einer Kugelkalotte (-kappe, -haube) abbildet. Die Verbiegungen sind sehr gering, so dass der Kugelradius sehr große Werte annehmen kann.

Gegeben habe ich den Durchmesser d der anfänglich unverbogenen Kreisfläche und die Verbiegung b der nunmehr verbogenen Kreisfläche. Gesucht ist der Radius R der Kugel. Im Anhang befindet sich eine beschreibende Skizze.

Im www habe ich eine Formel dazu gefunden, brauche aber deren Herleitung.
$\begin{eqnarray*} R=(d^2+4b^2)/(8b) \end{eqnarray*}$
Im Bronstein z.B. kann ich dazu auch nichts finden.

Wer kann mir da bitte weiterhelfen?

Danke.

09.02.2008, 13:15

riwe

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RE: Kugelkalotte

Zitat:

Original von greglemond

Wer kann mir da bitte weiterhelfen?

Danke.

ich würde vermuten, der gute alte PYTHAGORAS unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} R²-(R-b)²=\frac{d²}{4}\to R=\frac{d²+4b²}{8b} \end{eqnarray*}$

09.02.2008, 17:53

greglemond

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Genau, damit erreicht man die Formel

$\begin{eqnarray*} R=(4b^2+d^2)/(8b) \end{eqnarray*}$

Das ist doch aber nur eine Näherung für sehr kleine Verkrümmungen, denn normalerweise steht d für eine Linie auf der Oberfläche und nicht für eine Sekante. Wie bekomme ich das genauer hin?

Danke. smile

smile

09.02.2008, 17:56

riwe

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nein, wenn d der durchmsser des schnittkreises ist, wie du anfangs schreibst, gilt das allgemein.

09.02.2008, 19:24

WebFritzi

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d ist die Länge des Kreisbogens. Offensichtlich ist d nicht der Durchmesser, sonst wäre R durch d/2 bereits gegeben.

09.02.2008, 19:55

riwe

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RE: Kugelkalotte

Zitat:

Original von WebFritzi
d ist die Länge des Kreisbogens. Offensichtlich ist d nicht der Durchmesser, sonst wäre R durch d/2 bereits gegeben.

verwirrt

Zitat:

Original von greglemond
Hallo erstmals,

mich beschäftigt folgendes Problem. Ich habe eine Kreisfläche, welche sich idealer in der Art verbiegen kann, dass sie die Oberfläche einer Kugelkalotte (-kappe, -haube) abbildet. Die Verbiegungen sind sehr gering, so dass der Kugelradius sehr große Werte annehmen kann.

Gegeben habe ich den Durchmesser d der anfänglich unverbogenen Kreisfläche und die Verbiegung b der nunmehr verbogenen Kreisfläche. Gesucht ist der Radius R der Kugel. Im Anhang befindet sich eine beschreibende Skizze.

Im www habe ich eine Formel dazu gefunden, brauche aber deren Herleitung.
$\begin{eqnarray*} R=(d^2+4b^2)/(8b) \end{eqnarray*}$
Im Bronstein z.B. kann ich dazu auch nichts finden.

Wer kann mir da bitte weiterhelfen?

Danke.

steht aber anders da

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10.02.2008, 09:13

greglemond

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Na dann ist es zu einem Missverständnis gekommen. Hinter der Aufgabe steckt ein praktischer Zusammenhang. Vielleicht hätte ich diesen von Anfang an nennen sollen.

Ich habe eine Wafer. Das ist eine planare Scheibe (kreisförmig) mit einem Durchmesser von 300mm, wie sie in der Halbleiterindustrie eingesetzt wird. Auf Grund von Verspannungen während Prozessierung verbiegt sich der Wafer. Diese Verbiegungen sind sehr gering und spielen sich im Bereich von 20µm ab. Man kann den Aufbau mit einer Kugel mit sehr großem Durchmesser beschreiben. d ist dabei der natürlich konstante bleibende Waferdurchmesser, also ein Kreisbogen auf der Kugeloberfläche. Für die vorkommenden sehr geringen Verbiegungen ist d auch in etwa der Durchmesser des Schnittkreises, aber eben nicht exakt.

Wie bekomme ich das exakt hin? Danke schon mal für gute Hinweise.

10.02.2008, 14:36

riwe

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also gegeben, bzw, gemessen: d und b wie in der skizze.

dann hast du (hoffentlich) $\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{R-b}{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d}{2} =R\cdot\alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im bogenmaß

und daraus bekommst du:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{b}{R}=cos\frac{d}{2R} \end{eqnarray*}$
das kannst du nun mit einem näherungsverfahren lösen oder indem du eine potenzreihenentwicklung des cosinus durchführst

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{R}=\frac{1}{2}(\frac{d}{2R})²\pm .....+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}(\frac{d}{2R})^{2n}\to R\sim \frac{d²}{8b} \end{eqnarray*}$

(unter der voraussetzung $\begin{eqnarray*} d << R \end{eqnarray*}$ wohl zulässig)

und wenn das alles sogar noch stimmen sollte, bin ich richtig stolz auf mich unglücklich

unglücklich

edit: Punkterl eingefügt und den Faktor im nenner korrigiert, Leopold sei gedankt Gott

Gott

10.02.2008, 15:31

Leopold

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} d =R\cdot\alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im bogenmaß

Fehlt da nicht ein Faktor 2? Ich käme dann auf

$\begin{eqnarray*} R \approx \frac{d^2}{8b} \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise mit der Potenzreihe ist etwas gewöhnungsbedürftig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.02.2008, 15:45

riwe

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} d =R\cdot\alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im bogenmaß

Fehlt da nicht ein Faktor 2? Ich käme dann auf

$\begin{eqnarray*} R \approx \frac{d^2}{8b} \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise mit der Potenzreihe ist etwas gewöhnungsbedürftig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ja natürlich fehlt da die 2, da mache ich so süße Bilderl, nur um sie dann nicht anzuschauen unglücklich

unglücklich

bei der Potenzreihe habe ich mir die Punkterl erspart, aber du hast recht, das hätte ich nicht tun sollen, ich werde es nachholen.
also noch einmal

$\begin{eqnarray*} R\approx\frac{d²}{8b} \end{eqnarray*}$

danke schön
werner

10.02.2008, 16:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von riwe
und wenn das alles sogar noch stimmen sollte, bin ich richtig stolz auf mich unglücklich

unglücklich

Ja, das stimmt so. Drei Punkte in LaTeX kannst du uebrigens auch mit \dots erzeugen.

10.02.2008, 18:14

greglemond

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Riesen-Dank an alle die mir bei der Aufgabe geholfen haben.

Da wäre ich so sicher nicht draufgekommen. Also danke nochmal!

10.02.2008, 18:53

riwe

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bedanke dich besonders bei Leopold -
sonst müßte wahrscheinlich die komplette Waferproduktion in den Ausschuß unglücklich

unglücklich

10.02.2008, 19:01

Leopold

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Da machen wir es wie andere auch:

Es gilt ein unbedingter Haftungsausschluß für alle Auskünfte, die durch Mitglieder oder Besucher des MatheBoards erteilt werden.

Am Ende werden wir, Werner, noch in Regreß genommen für eine verpfuschte Chip-Produktion!

10.02.2008, 19:19

riwe

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dem schließe ich mich an.

und wie gut, dass ich keine Aktien von Infineon habe unglücklich

unglücklich

sondern nur von Manner, die produzieren keine Wafer aber Wafferl,
und da macht der kleine Unterschied von 2 zu 8 nix im Geschmack, nur teurer ist es halt.

10.02.2008, 21:00

greglemond

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Ja nee, ist klar. Verantwortung müsst ihr nicht übernehmen. Das wäre ja auch noch... Der Lösungsweg wird aber dennoch richtig sein.

Also danke noch mal. Freude

Freude

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