Zahlenfolge

07.08.2005, 21:13

Timi

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Zahlenfolge

Hallo!

Hab mal ne Frage zu folgender Folge und zwar warum diese Folge "bestimmt divergent" ist.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Diese Folge läuft doch eindeutig gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und das heisst doch, das diese meiner Meinung nach konvergent ist, da sie einen festen Grenzwert besitzt.

Wäre supi wenn ihr mir das mal erklären könntet.

Danke
Timi

07.08.2005, 21:17

Egal

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RE: Zahlenfolge

Zitat:

Original von Timi
Hallo!

Hab mal ne Frage zu folgender Folge und zwar warum diese Folge "bestimmt divergent" ist.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Meintest du
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(1+\frac{1}{k})^k \end{eqnarray*}$

jedes einzelne Folgenglied ist grösser als 1 siehst du das? und dann ist natürlich die Summe über unendlich viele einsen mit sicherheit viel gröser als e

07.08.2005, 21:19

JochenX

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ist das ein fehler, dass deine summe über k läuft, und aber n hinten drin steht?
soll wohl hinten k heißen

dann: das was du da hast ist keine folge, dass ist eine unendliche summe
bzw. der grenzwert einer reihe
das summenargument läuft gegen e, damit addierst du später immer wieder und wieder e drauf und hörst gar nicht mehr damit auf - existtiert der summenwert dann oder.....?

07.08.2005, 21:24

Mathespezialschüler

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Verschoben

07.08.2005, 21:32

Timi

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Japp, soll eigentlich beides ein "n" sein. Habsch mich wohl vertan.
Wie meinst das ->existtiert der summenwert dann oder.....?<-

gruss
Timi

PS: Wie macht man hier eigentlich Zitate??

07.08.2005, 21:34

Egal

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php:
1:	mit [quote] zitat [/quote]

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07.08.2005, 21:38

JochenX

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Zitat:

Original von Timi
Wie meinst das ->existtiert der summenwert dann oder.....?<-

hast du egals thread oben gelesen?
da steht eine schöne einfache begründung (abschätzung), warum dein summenwert nicht existiert, sondern UNENDLICH ist

07.08.2005, 21:45

Mathespezialschüler

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Oder du klickst folgenden Button:

Gruß MSS

07.08.2005, 21:48

Timi

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Japp, habe ich. Damit hat sich diese Frage erledigt. Danke

Da ergibt sich für mich aber bei folgender Aufgabe jetzt wieder ein Prob.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(n+1)^n}{(2n-1)^n} \end{eqnarray*}$

und zwar ist diese laut Lösung konvergent. Aber wenn ich nun für "n" Werte ab 1 einsetze und die Ergebnisse über unendl. viele Summen addieren würde, dann würde ich ja auch gegen unendlich gehen u. das hiesse ja dann eigentlich auch Divergenz verwirrt

verwirrt

gruss
Timi

07.08.2005, 21:54

Mathespezialschüler

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Du glaubst also, dass jede Summe von unendlich vielen positiven Zahlen unendlich ist? Das ist ja gerade der Witz, dass es so eben nicht ist! Das sollte dir klar werden, bevor bzw. während du dich mit Reihen beschäftigst. Am besten halte ich dir ein Beispiel mal vor Augen, was ich auch noch mit einer Geschichte bereichern könnte, wenn dir das lieb ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\left(\frac{1}{2}\right)^n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots=2 \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Aufgabe könntest du zum Beweis der Konvergenz das Wurzelkriterium benutzen! Alternativ geht es auch mit dem Majorantenkriterium.

Gruß MSS

07.08.2005, 21:54

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{(2n-1)^n}=(\frac{(n-0,5)+1,5}{2n-1})^n=(\frac{1}{2}+\frac{1,5}{2n-1})^n \end{eqnarray*}$
und das konvergiert für n gegen unendlich gegen 0

das heißt du addierst irgendwann nur noch betragsmäßig so wenig auf, dass deine reihe trotz unendlicher summanden konvergiert.

vergleiche ads mit der unendlichen summe: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+.... die gegen 2 konvergiert.

(edit: hihi, mss, gleiches beispiel, nur ich war zu faul, latex zu nutzen und war trotzdem langsamer)

07.08.2005, 21:54

Egal

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jetzt will ich dir mal nicht alles vorsagen sonst wird dir am ende noch langweilig
Bei einer Reihe ist ja eigentlich meist im Wesentlichen interessant was für grosse n passiert.
Dann überleg dir erstmal was mit den Folgengliedern für grosse n passiert. (Das alleine ist natürlich noch kein Argument) Aber damit solltest du mal anfangen.

07.08.2005, 21:57

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{(2n-1)^n}=(\frac{(n-0,5)+1,5}{2n-1})^n=(\frac{1}{2}+\frac{1,5}{2n-1})^n \end{eqnarray*}$
und das konvergiert für n gegen unendlich gegen 0

das heißt du addierst irgendwann nur noch betragsmäßig so wenig auf, dass deine reihe trotz unendlicher summanden konvergiert.

Jochen, das kommt so rüber, als würde jede Reihe, deren Glieder gegen 0 gehen, konvergieren. Ich weiß nicht, ob du das so gemeint hast, aber Timi könnte das falsch verstehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

07.08.2005, 22:03

JochenX

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nein natürlich nicht, ist nur hier so

also nochmal
@timi: du hast eine unendliche summe mit so einer folge, die du da aufaddierst

wenn das was du imme aufaddiest keine nullfolge ist, dann kannst du konvergenz gleich vergessen, denn dann addierst du ja immer was dazu (natürlich evtl. auch mal was negatives), kannst aber nie mit einer epsilonumgebung konvergenz finden (nachdenken!)

ist es eine nullfolge, dnn kann die reihe darüber konvergieren (beispiel: 1+1/2+1/4+1/8... etc.), muss aber nicht (beispiel: 1+12+1/3+1/4+1/5+... was über alle grenzen hinauswächst, immer langsamer, aber sie tuts)
dann musst du also andere kriterien anwenden

hoffe jetzt klarer
danke, mss

07.08.2005, 22:45

Timi

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Danke für eure Hilfe.

Euer Beispiel leuchtet mir voll ein. Für "n" einfach Werte von 0 bis ... einsetzen und dann aufaddieren. Das leuchtet mir ein, das diese Folge gegen 2 konvergiert.

Wenn ich das aber so auf mein Bsp. umsetze, dann geht da leider nichts beim Aufaddieren gegen NULL.
für n=1 komme ich auf 2
für n=2 -> 1
für n=3 -> 0,512 verwirrt

verwirrt

Ich sehe jetzt zwar, je größer "n" wird, desto kleiner werden die einzelnen Ergebnisse (also gegen 0), aber wenn ich jetzt eben diese Erg. aufaddieren möchte, so wie ihr das bei eurem Bsp. gemacht habt, dann wirds halt nichts mit gegen 0.

Ich kann zwar mit meinem Taschenrechner den Grenzwert berechnen lassen bzw. kann ich das dann auch per Hand machen und der zeigt mir auch gegen 0 an, aber wenn ich das halt so mit aufaddieren mache, dann gehts leider nicht.

Langsam ticke ich voll ab mit diesen Reihenmist. Hammer

Hammer

gruss
Timi

07.08.2005, 23:04

Mathespezialschüler

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Es ist nicht die Reihe, die gegen 0 geht, sondern ihre Glieder!!
Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\left(\frac{1}{2}\right)^n=2 \end{eqnarray*}$

Glieder:

$\begin{eqnarray*} a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Und bei dir genauso, es ist nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(n+1)^n}{(2n-1)^n}=0 \end{eqnarray*}$ ,

sondern der Reihenwert ist größer als 0. Ihn zu berechnen, gelingt mir auf die Schnelle nicht, aber darum geht es nicht.
Aber es gilt für die Glieder:

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{(n+1)^n}{(2n-1)^n}\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.08.2005, 00:03

Timi

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Achso, langsam machts klick. Ich betrachte also nur die einzelnen Glieder. Ja, das stimmt natürlich bei meinem zweiten Bsp.. Je höher ich das "n" wähle, umso kleiner werden die einzelnen Glieder.

Hoffe das habe ich jetzt so richtig formuliert.

Was ich jetzt aber auf mein erstes Bsp dann wieder nicht so richtig nachvollziehen kann. Klar ist, mit steigenden "n" werden die einzelnen Glieder immer größer. Aber doch nie größer als "e" und das wäre für mich ein fester Grenzwert, was m.M. Konvergenz bedeutet.

Ich schätze mein Problem liegt noch in diesem Summenwert, was ihr da am Anfang erwähnt habt. Klar wird die Summe der Glieder dann immer größer, aber wenn du sagst, dass nur die einzelnen Glieder interessant sind, dann verstehe ich nicht, dass bei der Aufgabe erst nach aufsummieren ersichtlich wird, das diese Reihe "bestimmt divergent" ist.

Vielen Dank
Timi

08.08.2005, 00:18

Mathespezialschüler

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Es stimmt ja auch!

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\operatorname{e} \end{eqnarray*}$ ,

aber die Summe aller der Folgenglieder ist natürlich nicht endlich und nicht konvergent. Guck mal, du kannst ja sagen (das ist bei der Folge zwar etwas übertrieben, aber egal):

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k\approx \operatorname{e} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\approx n\operatorname{e} \end{eqnarray*}$

und das geht ja wohl eindeutig gegen unendlich. Ich schreib das mal auf, wie ich es normalerweise nicht machen würde, weil es unsauber ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\approx \infty\cdot \operatorname{e}=\infty \end{eqnarray*}$ .

Aber wie gesagt, es geht auch einfacher! Es ist doch $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k\geq 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Also gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\geq \sum_{k=1}^n~2=2n \end{eqnarray*}$

und somit (wieder die unsaubere Schreibweise!)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\geq \sum_{k=1}^{\infty}~2=\infty \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.08.2005, 12:34

Timi

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Wink

Achso. Glaube jetzt hat es klick gemacht.

Vielen vielen Dank

Gott

Gott

Gott

Gott

gruss
Timi

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