Analytische Geometrie

09.02.2008, 18:25

Bastian20

Analytische Geometrie

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}-1\cdot \begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ Eine Ebene E ist durch die Punkte $\begin{eqnarray*} A(2/-2/8) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B(1/7/8) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C(6/4/-4) \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Die Gerade g verläuft durch die Punkte B und $\begin{eqnarray*} S(16/5/8) \end{eqnarray*}$ .

Die Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ ist durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax+(a-2)y+4z=22 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben.

1) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist und bestmimen Sie die Koordinaten des Punktes D, der das Dreieck ABC zu einem Quadrat ergänzt.

2) Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AC an und zeigen Sie, dass der Körper mit den Eckpunkten A, B, C, D und S eine gerade Pyramide ist.

Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Doppelpyramide mit den Eckpunkten A, B, C, D, S und S', für welche die Punkte S und SÄ spiegelbildlich bezüglich der Ebene E liegen.

3) Bestimmen Sie diejenige Ebene der Schar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ , in welcher der Durchstoßpunkt der Geraden g mit der x-y-Ebene liegt und berechnen Sie den zugehörigen Schnittwinkel zwischen der Geraden g und dieser Ebene.

4) Der Koordinatenursprung sei die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundfläche in der Ebenenschar $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ liegt.

Ermitteln Sie den Parameter a für den Fall, dass das Volumen des Kegels bei gleichem Radius maximal ist.

1) $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{BC}=\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beweis rechtwinklig: $\begin{eqnarray*} \vec{BC}\cdot\vec{AB}=\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ -4 \end{pmatrix}=-5-27+32=0\Rightarrow 90° \end{eqnarray*}$

Beweis gleichschenklig: $\begin{eqnarray*} |\vec{AB}|= \sqrt{(-1)^2+9^2+(-4)^2}= \sqrt{98} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} |\vec{BC}|=\sqrt{5^2+(-3)^2+(-8)^2}= \sqrt{98} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\vec{AB}|=|\vec{BC}| \end{eqnarray*}$

Bestimmung Punkt D: $\begin{eqnarray*} \vec{OD}= \vec{OB}+ \vec{BA}+ \vec{BC}= \begin{pmatrix} 1\\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 \\ -9 \\ 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow D(7/-5/0) \end{eqnarray*}$

2) Mittelpunktberechnung: $\begin{eqnarray*} \vec{M_{AC}}= \vec{OA}+ \frac{1}{2} \vec{AC}= \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -12 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\vec{MP} \end{eqnarray*}$

Zeige gerade Pyramide: $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \times \vec{AC}= \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -12 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9\cdot (-12) -(-4)\cdot 6 \\ -4\cdot 4 - (-1)\cdot (-12) \\ -1\cdot 6 - 9\cdot 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -84 \\ -28 \\ -42 \end{pmatrix}= \vec{n_{E_{ABC}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{MPS}= \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{MPS}= \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \frac{|\vec{n}\cdot \vec{MPS}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{MPS}|}=\frac{|\begin{pmatrix} -84 \\ -28 \\ -42 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}|}{ \sqrt{84^2+28^2+42^2}\cdot \sqrt{12^2+4^2+6^2} }=\frac{|-1008-112-252|}{\sqrt{9604}\cdot \sqrt{196}} =\frac{|-1372|}{\sqrt{1882384}}=\frac{1372}{1372}=1\Rightarrow 90° \end{eqnarray*}$

Volumen Pyramide: $\begin{eqnarray*} V=2\cdot \frac{1}{3}G\cdot h =2\cdot\frac{1}{3}| \vec{AB}|^2\cdot | \vec{MPS}|= 2\cdot\frac{1}{3}\cdot 98 \cdot \sqrt{12^2+4^2+6^2}= 2\cdot\frac{1}{3}\cdot 98 \cdot 14= \frac{2744}{3} \end{eqnarray*}$

Oberflächeninhalt:
Bestimmung Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \vec{M_a}= \begin{pmatrix} 1,5 \\ 2,5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{M_aS}= \begin{pmatrix} 14,5 \\ 2,5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O=2\cdot (|\vec{AB}|^2+4\cdot \frac{1}{2} |\vec{AB}|\cdot |\vec{M_aS}|)= 2\cdot (98+2\cdot \sqrt{98}\cdot \sqrt{(14,5)^2+(2,5)^2+2^2})=2\cdot (98+2\cdot \sqrt{98}\cdot \sqrt{220,5})=784 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\vec{OB}+t\cdot \vec{BS}= \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{xy}:x_3=0 \end{eqnarray*}$

g in E: $\begin{eqnarray*} 4+4t=0 \Rightarrow t=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}-1\cdot \begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -14 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow F(-14/9/0) \end{eqnarray*}$

F in E_a: $\begin{eqnarray*} -14a+9(a-2)+4\cdot 0=22 \Rightarrow a=-8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_a: -8x-10y+4z=22 \end{eqnarray*}$

Winkel: $\begin{eqnarray*} sin(\alpha)=\frac{| \vec{u}\cdot \vec{n}|}{| \vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{ |\begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -10 \\ 4 \end{pmatrix}|}{ \sqrt{15^2+2^2+4^2}\cdot \sqrt{8^2+10^2+4^2}} =\frac{84}{210}=0,4 \Rightarrow \alpha=23,58° \end{eqnarray*}$

4) Zu 4 fehlt mir der Ansatz. Meine Überlegung wäre es die höhe maximal zu machen, da der Radius immer gleich bleibt.
Das heißt ich muss den Abstand Punkt-Ebene maximal machen, was wie folgt aussehen würde.

$\begin{eqnarray*} d=|(\vec{r}- \vec{p})\cdot \vec{n_0}| =|\frac{\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -14 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} a \\ a-2 \\ 4 \end{pmatrix}}{ \sqrt{a^2+(a-2)^2+4^2}}| =|\frac{14a-9a+18}{ \sqrt{2a^2-4a+20}}|=d(a) \end{eqnarray*}$

Nun muss ich hiervon das Maximum berechnen.

$\begin{eqnarray*} d'(a)=\frac{5\cdot \sqrt{2a^2-4a+20}-(5a+18)\cdot(2a^2-4a+20)^{-0,5}\cdot 0,5 \cdot (4a-4)}{2a^2-4a+20 }=\frac{5\sqrt{2a^2-4a+20}-(10a^2+26a-36)\cdot (2a^2-4a+20)^{-0,5}}{2a^2-4a+20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d'(a)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=5\sqrt{2a^2-4a+20}-(10a^2+26a-36)(2a^2-4a+20)^{-0,5}\Rightarrow 10a^2-20a+100-(10a^2+26a-36)=-46a+136\Rightarrow a=-\frac{68}{23} \end{eqnarray*}$

Vielleicht könnt ihr mir hier einen Tipp geben, bzw. sagen wie ich an diese Aufgabe ranmuss, bin mir nämlich ziemlich sicher dass sie falsch ist.

Es wäre nett wenn ihr Mal nachgucken könntet ob es bishierhin richtig ist.
Stehe so kurz vor Abi und habe fürchterlich Angst vor Mathe weil ich nicht der beste drinn bin.

Danke an alle

09.02.2008, 18:40

riwe

Analytische Geometrie

Verwandte Themen