Nilpotente Matrix und charak. Polynom

08.08.2005, 12:30

Egal

Nilpotente Matrix und charak. Polynom

Ich hab hier eine Aussage bei der ich mir nicht ganz sicher bin ob sie so stimmt. Eigentlich brauch ich auch nur ob oder ob nicht die Aussage wahr ist. Aber eine kleine Begründung wäre auch ganz hübsch.

Gibt es zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb{C}^{n\times n} \text{ ein } k\in \mathbb{N} \text{ mit } A^k=0 \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} c_A(t)=(-t)^n \end{eqnarray*}$

Ich hab im Fischer schon was gefunden zu dem Thema allerdings gings da um Endomorphismen und da stand das $\begin{eqnarray*} c_A(t)=\pm t^n \end{eqnarray*}$ gilt. Nur leider will mir grad so garkeine Idee einfallen wie man da weiter kommt.

08.08.2005, 12:46

Ben Sisko

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RE: Nilpotente Matrix und charak. Polynom

Zitat:

Original von Egal
Gibt es zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb{C}^{n\times n} \text{ ein } k\in \mathbb{N} \text{ mit } A^k=0 \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} c_A(t)=(-t)^n \end{eqnarray*}$

Mir fällt spontan ein triviales Gegenbeispiel ein. Hilft dir das vielleicht schon?

08.08.2005, 13:06

Egal

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Triviale Gegenbeispiele sind immer gut.

08.08.2005, 13:11

Ben Sisko

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Ich meinte, ob die Aussage, dass es eines gibt, dich vielleicht so motiviert, dass du es selbst findest? Augenzwinkern

08.08.2005, 13:12

Egal

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Ich mein es ist nicht so als hätte ich nicht schon drüber nachgedacht. Aber die Aussage scheint mir einigermassen erfolgsversprechend. Ich hab auch schon rausgefunden das es für eine Nullmatrix offensichtlich erfüllt ist. Nur hab ich bisher keinen Beweis für die Richtigkeit gefunden.

08.08.2005, 13:18

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Egal
Ich hab auch schon rausgefunden das es für eine Nullmatrix offensichtlich erfüllt ist.

Ah, sorry, das Beispiel meinte ich. Dabei gehen wir von verschiedenen Definitionen aus. Bei der Wikipedia-Definition (der ersten) hat die Nullmatrix das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} t^n \end{eqnarray*}$ .

08.08.2005, 13:50

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Wegen

$\begin{eqnarray*} \det(A^k-\lambda^k\,I) = \det(A-\lambda I)\cdot\det(A^{k-1}+\lambda\,A^{k-2}+\cdots+\lambda^{k-2}\,A+\lambda^{k-1}\,I) \end{eqnarray*}$

hat jeder Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A^k \end{eqnarray*}$ zur Folge...

Alles klar?

EDIT: Sch... Schreibfehler.

08.08.2005, 14:13

Egal

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Ich out mich mal als unwissend. Das heisst jetzt es stimmt oder deut ich das falsch?

08.08.2005, 16:46

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Ja, es stimmt. Und das eben war die Beweisskizze.

EDIT: Ist dir jetzt klar, wie's weiter geht? Ich wollte dich ja nicht verärgern, indem ich zuviel verrate... Augenzwinkern

08.08.2005, 17:34

Egal

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Ganz sicher bin ich mir nicht aber das Ergebniss entspricht meinem Gefühl und ich hab ne Idee wie man das macht.

16.08.2005, 04:36

WebFritzi

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Du musst lediglich zeigen, dass der einzige Eigenwert die Null ist. Und dazu hat Arthur Dent dir bereits einen dicken Hinweis gegeben.

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