Eindeutigkeit von exp, sin usw

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Viva Colonia!!! Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit von exp, sin usw
Wie zeigt man, dass die exp-Funktion eindeutig ist?

Also was ich mir bisher dazu gedacht hab, ist, dass man sich überlegen muss wie aus

exp'=exp und exp(0)=1

folgt, dass es nur eine solche Funktion gibt.

Die Eindeutigkeit von Sinus und Cosinus geht dann wohl ähnlich.... schätz ich mal....

Also helft mir!!!!
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Seien zwei differenzierbare Funktionen mit , , .
Man zeigt leicht, dass f und g keine Nullstellen haben.
Man kann deshalb die Funktion betrachten. Berechne .
Daraus folgerst du dann leicht und damit die Behauptung.

edit: latex-Code verbessert. (MSS)
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Naja,wenn du zeigen willst,dass exp'=exp gilt,dann kannst du das relativ simpel mit der Summendarstellung der Exponentalfunktion tun.Natürlich nur,wenn du die Reihe kennst
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie zeigt man, dass die exp-Funktion eindeutig ist?

die frage an sich halte ich für relativ blöd

die e-funktion im sinne von f(x)=e^x mit e=2,718.... ist selbstverständlich eindeutig, sie ist doch hier explizit angegeben.

stellst du vielleicht die bedigung an deine funktion f mit f'=f und willst zeigen, dass das nur von der e-funktion erfüllt wird? (edit: und allen vielfachen dieser funktion)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, genau das ist es.
Sei die Funktion, für die

,

gilt. Zu zeigen ist, dass es genau eine solche Funktion gibt. D.h. erstens, man muss zeigen, dass es eine gibt und zweitens, dass jede andere Funktion mit den beiden Eigenschaften gleich dieser Funktion ist. Für letzteres ist gast1's Beitrag sehr hilfreich!

@Jochen
Die Vielfachen tun das nicht! Für ist .

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

klarer fall, max
war von der aufgabenstellung so verwirrt, dass ich diesen hinweis nicht beachtet hatte
 
 
Viva Colonia Auf diesen Beitrag antworten »

zu gast1

also ich zeig erst, dass gilt exp(x)*exp(-x)=1 für alle x
Daraus folger ich dann, dass exp nie Null wird und daraus folgt, dann aus der Stetigkeit, dass exp nie negativ wird.

(f/g)'=0 daraus folgt h ist konstante Funktion und stimmt überall mit ihrem Wert bei 0, nämlich 1 überein. Daraus folgt dann f=g

Allerdings hab ich noch nen weiteren Tipp bekommen mit dem das alles viel einfacher sein soll (betonung liegt wohl auf soll.....)

Irgendwas mit der Darstellung als Potenzreihe... kann sich darunter jemand was näheres vorstellen??
(ich erkundige mich sonst nochmal)

zu n!

erklrä mal genauer, bitte

von picard-lindelöf hab ich noch nie was gehört.....
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so war es gemeint, sehr gut.
Dass es keine negativen Funktionswerte gibt, ist nicht interessant, es geht nur darum, dass die Funktion keine Nullstellen hat, so dass der Quotient wirklich auf ganz definiert ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Existenz und die wichtigsten Eigenschaften von und schon kennt, kann man die Eindeutigkeit auch ohne schwere Geschütze der Theorie der Differentialgleichungen herleiten. Die Sache ist allerdings recht trickreich, wenn man sie rein reell durchführt. (Der Beweis ist unter Verwendung der Eulerschen Identität dem Eindeutigkeitsbeweis der Exponentialfunktion nachempfunden und durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil rein reell ausgeführt.)

Gegeben sei eine auf definierte zweimal differenzierbare Funktion mit



Dann definiere man zwei Funktion durch



Man differenziert nun diese beiden Funktionen (Produktregel beachten) und erhält wegen sowohl als auch . Die Funktionen sind also konstant, und aus den Anfangsbedingungen bekommt man durch Einsetzen von die Gleichungen und . Es folgen daher

(aus )
(aus )

wird nun mit multipliziert und mit . Dann werden die Gleichungen addiert. Es folgt:

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