Sign(cos x) integrieren

09.02.2008, 23:04

Theurer

Sign(cos x) integrieren

hallo

ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen und bin bei der Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\mid cos x \mid}{cos x}~dx \end{eqnarray*}$

stehen geblieben. Kann mir jemand eine Lösungsweg für das Problem zeigen

danke

Mod: Titel auf "... integrieren" geändert!

09.02.2008, 23:10

WebFritzi

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Welche Werte nimmt der Integrand denn an?

09.02.2008, 23:13

mYthos

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Hallo!

Definitionsmenge festlegen!
Fallunterscheidung!

Es gibt nur zwei bestimmte Werte, die die Funktion annehmen kann.

mY+

10.02.2008, 12:17

Theurer

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Es ist ein Ausdruck aus einer DGL die folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{1}{\mid cos x \mid } \cdot ( C + \int_{}^{}~\frac{\mid cos x \mid }{cos x} ~dx ) \end{eqnarray*}$

mit dem AWP: y(\pi) =\pi

danke

10.02.2008, 16:22

WebFritzi

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Das ist keine DGL.

10.02.2008, 16:36

Theurer

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Das war mal eine DGL:

$\begin{eqnarray*} y'\cdot cos(x) - y \cdot sin(x) = 1 \end{eqnarray*}$

10.02.2008, 16:47

WebFritzi

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Hmm, und wie kommst du dann auf dein Integral da? Ich habe als Loesungen

$\begin{eqnarray*} y = \tan(x) + \frac{c}{\cos(x)},\;c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

raus.

10.02.2008, 18:34

Theurer

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Begreife ich nicht!?
Wo ist mein Fehler:

1. $\begin{eqnarray*} y'\cdot cos x -y\cdot sin x =1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} y' - y\cdot tan x = \frac{1}{cos x} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} y = e^-(\int_{}^{}~-tan x~dx) \cdot ( C + \int_{}^{}~\frac{1}{cos x}\cdot e^(\int_{}^{}~-tan x~dx)~dx \end{eqnarray*}$

usw.

Schritt drei ist einfach eingesetzt in eine allg. Gleichung.

danke

10.02.2008, 19:05

WebFritzi

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Ah ja. Ich habe in Schritt 2 die rechte Seite nicht durch den Cosinus geteilt. Finger1

Auf Intervallen, auf denen cos(x) > 0 ist, lauten die Loesungen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(x)}(x + c). \end{eqnarray*}$

Auf Intervallen, auf denen cos(x) < 0 ist, lauten die Loesungen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(x)}(x - c). \end{eqnarray*}$

10.02.2008, 22:11

Theurer

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gut,

wenn das so ausreicht, dann wäre ich evt. auch selber darauf gekommen.
Kann man die Aufgabe auch ohne Fallunterscheidung lösen?

Trotzdem vielen Dank für die Mühe!

grüße

10.02.2008, 23:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von Theurer
Kann man die Aufgabe auch ohne Fallunterscheidung lösen?

Nein, offenbar nicht.

11.02.2008, 09:50

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Zitat:

Original von Theurer
Das war mal eine DGL:

$\begin{eqnarray*} y'\cdot cos(x) - y \cdot sin(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Warum nicht einfach so: Nach Multiplikationsregel ist

$\begin{eqnarray*} (y \cdot \cos(x))' = y' \cdot \cos(x) - y \cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$ ,

demnach kann man $\begin{eqnarray*} y' \cdot \cos(x) - y \cdot \sin(x) = 1 \end{eqnarray*}$ direkt integrieren:

$\begin{eqnarray*} y \cdot \cos x = \int 1 ~ \dd x + c = x + c \end{eqnarray*}$ .

Die sich ergebende Lösung $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{x+c}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ ist natürlich immer nur für Intervalle $\begin{eqnarray*} \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi , \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \end{eqnarray*}$ definiert, globale Lösungen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt es hier wie oben schon erwähnt nicht.

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