Vertrauensbereich fürs arithmet. Mittel

09.08.2005, 18:12

silv

Vertrauensbereich fürs arithmet. Mittel

Hallo zusammen - ich bin in unserem Matheskript über - so scheint es mir - widersprüchliche Angaben gestolpert und weiss nun überhaupt nicht mehr was stimmt.... Vielleicht kann mir ja jemand helfen, der mehr davon versteht als ich...

Gemäss unserem Skript soll man, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und die Anzahl Stichproben n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 100 ist, die Normalverteilung (und deren "z" Sigma-Regeln) mit der Stichprobenstandardabweichung s verwenden, um den Vertrauensbereich fürs arithmetische Mittel zu bestimmen. Sei X zusätzlich normalverteilt gehe das auch für n>30.

Andererseits steht einige Seiten weiter folgendes:

Ist X normalverteilt und n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 100 (bzw. n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 30) (???) so kann mit der t-Verteilung (und deren t-Quantilen) gearbeitet werden.

Dann findet sich später im Skript die Zusammenfassung:

Falls Standardabweichung der GG bekannt: Normalverteilung verwenden (ist n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 30, muss X in der GG normalverteilt sein)

Falls Standardabweichung der GG unbekannt: T-Verteilung verwenden (ist n<100, muss X in GG normalverteilt sein)

Was gilt nun wann??? Für mich widersprechen sich diese Ausführungen irgendwie.... Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, das wäre wahnsinnig nett!

Liebe Grüsse
Silv

09.08.2005, 18:48

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Bevor man sich an die "über den Daumen gepeilten" Näherungen macht, sollte man sich erstmal ansehen, was wirklich exakt gilt:

Zitat:

Falls die der Stichprobe zugrunde liegende Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ normalverteilt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit unbekanntem $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , dann lässt sich ein $\begin{eqnarray*} (1-\alpha) \end{eqnarray*}$ -Vertrauensintervall für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bei Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgendermaßen berechnen:

1) Bei bekanntem $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left[\bar{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}},\bar{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right] \end{eqnarray*}$

mit dem Quantil $\begin{eqnarray*} z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung.

2) Bei unbekanntem $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left[\bar{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}},\bar{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\right] \end{eqnarray*}$

mit dem Quantil $\begin{eqnarray*} t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*}$ der t-Verteilung mit $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden. Dabei ist $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Stichproben-Standardabweichung, also $\begin{eqnarray*} s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n~(x_k-\bar{x})^2} \end{eqnarray*}$ .

Zu beachten ist, dass diese t-Verteilung für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ in die Normalverteilung übergeht, so dass man für große (?!) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Näherung $\begin{eqnarray*} t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}} \approx z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*}$ nutzen kann. (*)

Beide Formeln (je nachdem, ob $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nun bekannt ist oder nicht) sind für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ exakt gültig!!!

Wovon du nun aber vermutlich sprichst ist der Fall, dass die Stichprobe nicht einer Normalverteilung unterliegt. Aber auf Grund der Gültigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes ist auch in diesem Fall der Mittelwert der Stichprobe zumindest näherungsweise normalverteilt. Wie man nun genau auf die von dir angegebenen Grenzen kommt, mag sich irgendjemand Schlaues überlegt haben: Vielleicht aufgrund bestimmter Fehlergrenzen, vielleicht aber auch aus dem schnöden Grund der Verfügbarkeit von Tabellenwerten - insbesondere dann, wenn man die t-Verteilung durch die Normalverteilung ersetzen will (siehe oben (*)).

10.08.2005, 10:50

silv

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Vertrauensbereich fürs arithmet. Mittel - Nachfrage
Vielen Dank für die Antwort! Das ist für mich schlüssig, aber trotzdem bin ich noch am rätseln....

Wenn nun die Standardabweichung der GG bekannt, werde ich immer die Normalverteilung benutzen.

Wenn aber die Standardabweichung GG unbekannt, bin ich noch unsicher...
Soll ich nun in diesem Fall grundsätzlich die t-Verteilung benutzen? Oder kann man sagen, dass (gem. meinem Skript) wenn n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 100 (= "grosses n" ?) ist, auch die Normalverteilung verwendet wird? Und dass diese bei "explizit" normalverteilten n auch unter 30 möglich ist?`
Andererseits sagt mein Skript ja, dass bei n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 100 die t-Verteilung verwendet werden kann/soll? und bei n < 100 und "expliziter" Normalverteilung ebenfalls die t-Verteilung.

Was soll nun die andere Stelle im Skript, die besagt, dass bei "expliziter Normalverteilung" und n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 100 bez. n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 30 die t-Verteilung zum Einsatz kommt? Weshalb ist nun plötzlich von 30 die Rede? Bei 100 wird ja auch bereits von Normalverteilung ausgegangen...

Wäre sehr dankbar um Deine Antwort, falls Du kurz Zeit für mich findest....

Liebe Grüsse
Silv

10.08.2005, 15:43

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Zitat:

Original von silv
Wenn nun die Standardabweichung der GG bekannt, werde ich immer die Normalverteilung benutzen.

Richtig.

Zitat:

Original von silv
Wenn aber die Standardabweichung GG unbekannt, bin ich noch unsicher...
Soll ich nun in diesem Fall grundsätzlich die t-Verteilung benutzen?

Ja, sofern das mit den dir verfügbaren Tabellen der t-Verteilung noch möglich ist. Viele Tabellen enden bei Freiheitsgrad 100 oder sogar noch darunter (50 oder 30). Für größere, nicht mehr tabellierte Freiheitsgrade nimm die Normalverteilung statt der t-Verteilung. Nicht dass die t-Verteilung dort falsch ist, aber wenn sie dort eben nicht mehr tabelliert ist...

Zitat:

Original von silv
Oder kann man sagen, dass (gem. meinem Skript) wenn n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 100 (= "grosses n" ?) ist, auch die Normalverteilung verwendet wird?

Ja, siehe meine letzte Anmerkung.

Zitat:

Original von silv
Und dass diese bei "explizit" normalverteilten n auch unter 30 möglich ist?

Nein, dort ist die t-Verteilung exakt (siehe mein gestriger Beitrag) und zudem tabelliert. Also in dem Fall unbedingt die t-Verteilung verwenden!

Zitat:

Original von silv
Andererseits sagt mein Skript ja, dass bei n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 100 die t-Verteilung verwendet werden kann/soll? und bei n < 100 und "expliziter" Normalverteilung ebenfalls die t-Verteilung.

Richtig - ist in Übereinstimmung mit meinen letzten Antworten.

Zitat:

Original von silv
Was soll nun die andere Stelle im Skript, die besagt, dass bei "expliziter Normalverteilung" und n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 100 bez. n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 30 die t-Verteilung zum Einsatz kommt? Weshalb ist nun plötzlich von 30 die Rede? Bei 100 wird ja auch bereits von Normalverteilung ausgegangen...

Vergiss es einfach: Bei expliziter Normalverteilung ist die t-Verteilung immer richtig.

11.08.2005, 14:16

silv

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Danke
Vielen Dank für Deine Mühe, nun habe ichs (als Mathe-Analphabet...) kapiert!!!

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