Koerper mit bijektiver Abbildung

09.08.2005, 18:36

Midgard

Koerper mit bijektiver Abbildung

Folgende Aufgabe:

Finden Sie einen Koerper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit mehr als 2 Elementen, so dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} K \rightarrow K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \rightarrow a^4 \end{eqnarray*}$

bijektiv ist.

Q, R und C schliesse ich schon mal aus, da a^4 weder in- noch surjektiv ist. Was gibt es noch? Naja, eine Restklasengruppe Z_m (mit m primzahl). Hab ich mal fuer m=3 und 5 probiert. geht leider auch nicht.

Was fuer Moeglichkeiten gibt es noch? Wie kann ich sowas etwas systematisch loesen?

Danke fuer Tips smile

09.08.2005, 19:07

Leopold

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Wegen $\begin{eqnarray*} 1^4 = (-1)^4 \end{eqnarray*}$ in jedem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , kann so etwas nur funktionieren, wenn $\begin{eqnarray*} 1 = -1 \end{eqnarray*}$ ist, mit anderen Worten, wenn der Körper die Charakteristik $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ hat. Da du $\begin{eqnarray*} K = \operatorname{GF}(2) \end{eqnarray*}$ nicht nehmen darfst, probiere es doch mit $\begin{eqnarray*} K = \operatorname{GF}(4) \end{eqnarray*}$ . Falls dir bekannt ist, daß die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers stets zyklisch ist, geht es dann ganz schnell.

09.08.2005, 22:58

Midgard

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Vielen Dank für deine Antwort.

Sehe ich das richtig, $\begin{eqnarray*} GF(2) \end{eqnarray*}$ bildet den Restklassenring Z_2? Dadurch wird natürlich $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet. $\begin{eqnarray*} GF(4) \end{eqnarray*}$ wäre dann also $\begin{eqnarray*} F_{p^n} \text{mit } p=n=2 \end{eqnarray*}$ . Das darf ich ja nicht als Restklassenring $\begin{eqnarray*} Z_4 \end{eqnarray*}$ auffassen. Jetzt seh ich aber nicht, wie ich was Abbilden muss, resp was wohin abgebildet wird. Hammer

Ich frag morgen mal die Götter. Ich danke Dir für die Hilfe, evtl komme ich darauf zurück. Merci.

(OT: Solche Sachen gehören in den Topf der "unschönen Mathe" und sollten verboten werden. Da verneige ich mich vor meinen PDEs und Transformationen; da weiss man zumindest was man hat. Gott

)

10.08.2005, 00:12

Ben Sisko

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Du kannst dir diesen Körper verdeutlichen, wenn du dir die beiden Verknüpfungstafeln hinschreibst.

Da hast du ja auch schon von Leopold einen Tipp bekommen:

Zitat:

Original von Leopold
Falls dir bekannt ist, daß die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers stets zyklisch ist, geht es dann ganz schnell.

Wenn du die beiden Tafeln hast, sollte es kein Problem mehr sein, sich hinzuschreiben, wie die Abbildung wirkt (und daran dann direkt In- und Surjektivität abzulesen).

Gruß vom Ben

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