Woran erkenne ich den Unterschied

11.08.2005, 18:26

Mexaner

Woran erkenne ich den Unterschied

Hallo erstmal, ist zwar ne dumme Frage, aber ihr könnt mir weiterhelfen:

Ich habe nach dieser Erklärung! (Danke dafür!) Freude

folgende Funktionen per Substition integriert:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x(x^2+4)^3~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ln(x)}{x}~dx \end{eqnarray*}$

aber nachdem ich $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x*sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ auch per Substition lösen wollte habe ich festgestellt, dass mein Ergebnis nicht stimmt, laut Lösung verwendet man hier die "Partielle Integration", aber woran erkennt man das?

Vielen Dank schonmal

11.08.2005, 18:43

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn's mit Integration durch Substitution nicht klappt. Es gibt, anders als beim Differenzieren, kein festes Vorgehensschema beim Integrieren (manche Integrale, wie $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ lassen sich sogar gar nicht anders darstellen).

Man kann aber oft im Vornherein sehen, dass das mit der Substitution nichts wird, wenn man den Integranden in Faktoren zerlegt. Ein Faktor muss sich durch die Ableitung einer inneren Funktion bis auf einen konstanten Faktor wegkürzen lassen (die Integration auf Substitution basiert ja auf der Umkehrung der Kettenregel).

11.08.2005, 22:29

Die Maschine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte ich das vom Mexaner erstgenannte Integral nicht ausmultiplizieren können und dann mit der Stammfkt. da das Integral berechnen können??

11.08.2005, 22:34

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar. Dauert aber mindestens doppelt so lange und man hat mit viel unhandlicheren Termen zu tun.

12.08.2005, 09:24

Mexaner

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten morgen, vielen dank für die Antwort, aber irgendwie kann ich glaube ich immernoch nicht unterscheiden.
Ich gebe nochmal ein genaueres Beispiel:

Also die Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ln(x)}{x}~dx \end{eqnarray*}$ hatte ich in $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x}*ln(x)~dx \end{eqnarray*}$ umgeschrieben und dann $\begin{eqnarray*} ln(x)=z \end{eqnarray*}$ gesetzt!

Prinzipiell sieht man doch keinen Unterschied zu der Funtion $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x*sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ . Man hätte ja auch hier einfach $\begin{eqnarray*} sin(x)=Z \end{eqnarray*}$ setzen können (das hatte ich gemacht, war aber dann falsch), bzw. $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ln(x)}{x}~dx \end{eqnarray*}$ dann auch Partiell ableiten können.

12.08.2005, 09:58

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mexaner
Guten morgen, vielen dank für die Antwort, aber irgendwie kann ich glaube ich immernoch nicht unterscheiden.
Ich gebe nochmal ein genaueres Beispiel:

Also die Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ln(x)}{x}~dx \end{eqnarray*}$ hatte ich in $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x}*ln(x)~dx \end{eqnarray*}$ umgeschrieben und dann $\begin{eqnarray*} ln(x)=z \end{eqnarray*}$ gesetzt!

Prinzipiell sieht man doch keinen Unterschied zu der Funtion $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x*sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ . Man hätte ja auch hier einfach $\begin{eqnarray*} sin(x)=Z \end{eqnarray*}$ setzen können (das hatte ich gemacht, war aber dann falsch), bzw. $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{ln(x)}{x}~dx \end{eqnarray*}$ dann auch Partiell ableiten können.

klar kannst auch partiell aintegrieren
$\begin{eqnarray*} u'= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= ln(x) \end{eqnarray*}$

kannst ja mal versuchen kommt das gleiche raus

12.08.2005, 10:02

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

bei deinem ersten beispiel funktioniert die substitution, weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ die ableitung von ln(x) ist.

bei der sinusfunktion ist das anders. x ist nicht die ableitung von sin(x)

hättest du vorne den cosinus würde es auch hier funktionieren.

12.08.2005, 11:36

Mexaner

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok, vielen dank!

Zitat:

klar kannst auch partiell aintegrieren
$\begin{eqnarray*} u'= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= ln(x) \end{eqnarray*}$

kannst ja mal versuchen kommt das gleiche raus

Woher weiß man eigentlich was $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ und was $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist?

Hätte man auch:

$\begin{eqnarray*} v'= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= ln(x) \end{eqnarray*}$

sagen können?

12.08.2005, 11:44

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

kennst du die "formel" für partielle integration?

man sucht sich die sacxhen so aus, daß u bzw v' am einfachsten zu integrieren oder zum ableiten sind!

wenn du v' = ln(x) nimmst hast du die erste hürde schon bei der bildung von v

12.08.2005, 12:01

Mexaner

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

kennst du die "formel" für partielle integration?

also ich habe diese Formel:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u'(x)*v(x)~dx = u(x)*v(x) - \int_{}^{}~v'(x)*u(x)~dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

man sucht sich die sacxhen so aus, daß u bzw v' am einfachsten zu integrieren oder zum ableiten sind!

wenn du v' = ln(x) nimmst hast du die erste hürde schon bei der bildung von v

achso, danke! aber prinzipiell führt beides zum Richtigen Ergebnis?

Mal eine andere Frage: von $\begin{eqnarray*} f(x)=-cos(x) \end{eqnarray*}$ ist da $\begin{eqnarray*} F(x)=-sin(x) \end{eqnarray*}$

12.08.2005, 12:02

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

12.08.2005, 12:05

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf beide Fragen.

12.08.2005, 12:06

Mexaner

Auf diesen Beitrag antworten »

super danke euch!

Neue Frage »

Antworten »

Woran erkenne ich den Unterschied

Verwandte Themen