Integralrechnung mit logarithmus naturalis

11.08.2005, 23:38

Die Maschine

Integralrechnung mit logarithmus naturalis

Also ich lerne gerade schon mal ein wenig fürs Abi, nächstes Jahr und bin auf folgendes gestoßen: $\begin{eqnarray*} \int_{3}^{4}~\frac{-0,5}{x+1}+ \frac{0,5}{x-1} ~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -0,5 [ln (x+1)]_{3}^4 \end{eqnarray*}$

Kann mir einer erklären warum, ich komm da echt von alleine nicht mehr drauf... danke, bis denn, ciao Sven!

11.08.2005, 23:52

derkoch

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splitte das integral in 2 teil integrale und dann jeden einzelne integrieren!

kannst dann mit hilfe der substitution zum ergebnis kommen!
es geht aber auch anders( man kann es mit einem vorfaktor so "hinbiegen", daß im zähler die ableitung des nenners steht, dann ist es nur noch formsache)

edit: rgänzung zu sqrt(2) aussage:

@threadstarter
es fehlt noch der 2. teil

$\begin{eqnarray*} +0,5 [ln (x-1)]_{3}^4 \end{eqnarray*}$

11.08.2005, 23:55

sqrt(2)

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Diese Gleichung ist falsch.

$\begin{eqnarray*} -0.5[\ln(x+1)]_3^4=\int_3^4~-\frac{0.5}{x+1}~\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Darauf kommt man durch herausziehen des Vorfaktors und Substitution von (x + 1).

Kann es sein, dass du bei der Lösung was vergessen hast?

12.08.2005, 00:07

Die Maschine

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Jau das kann hinkommen hab ich was übersehen, danke... aber wie substiutiere ich das Ding denn...?? und wie komme ich darauf dass $\begin{eqnarray*} -0,5\int_{3}^{4}~\frac{1}{x+1}~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -0,5 [ln x]_{3}^4 \end{eqnarray*}$

Durch Substitution? und wie!?

12.08.2005, 00:11

derkoch

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Diese Gleichung ist falsch.

$\begin{eqnarray*} -0.5[\ln(x+1)]_3^4=\int_3^4~-\frac{0.5}{x+1}~\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Darauf kommt man durch herausziehen des Vorfaktors und Substitution von (x + 1).

Kann es sein, dass du bei der Lösung was vergessen hast?

wie sqrt(2)geschrieben hat u= ( x+1)

und
für den 2. teil kannst du v= (x-1)

12.08.2005, 00:19

Die Maschine

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hmm versteh ich immer noch nicht, aber ich glaube ich kann mir das so herleiten dass wenn ich habe:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x} ~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} [ln x]_{b}^a \end{eqnarray*}$

aaaach moment dann ist das quasi die substitution nur dass ich für das obige x einfach u genannt habe und das nachher mit u=x+1 rückgängig mache.... Mann, ich muss öfters Mathe wiederholen, wenn ich nen gutes Abi haben will.... Danke nochmal... Freude

also zu merken wäre dann einfach obige Gleichung mit x=u in der Hinsicht zum substituieren...??

12.08.2005, 00:39

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Die Maschine
aaaach moment dann ist das quasi die substitution nur dass ich für das obige x einfach u genannt habe und das nachher mit u=x+1 rückgängig mache....

Mooooment, so leicht ist das nicht. Die Substitution ist eine Umkehrung der Kettenregel, da spielt eben der nachdifferenzierte Faktor eine Rolle. Schau mal hier.

Zitat:

Original von Die Maschine
also zu merken wäre dann einfach obige Gleichung mit x=u in der Hinsicht zum substituieren...??

Das funktioniert in diesem speziellen Fall so, aber nicht immer. Wenn du dir eine Formel merken willst, ist in dem Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~\mathrm{d}x=\ln |f(x)| \end{eqnarray*}$

ganz nett. Alledings würde ich an deiner Stelle nochmal die Substitution wiederholen und dann die obige Formel selbst herleiten, zum Überprüfen.

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