Kettenregel I oder II ?

12.08.2005, 13:48

phi

Kettenregel I oder II ?

Hallo,

Bei einer Funktion wie $\begin{eqnarray*} g(x,y)=exp(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ wendet man doch die 1-dimensionale Kettenregel an um partiell abzuleiten , oder ?

Die partielle Ableitung nach x wäre also: 2x*exp(x^2+y^2) .

Weil mit der mehrdimensionalen Variante: $\begin{eqnarray*} \nabla g(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \end{eqnarray*}$ kämen für die partiellen Ableitungen nach x und y sonst das gleiche raus... verwirrt

Dank & Gruß, phi.

12.08.2005, 18:20

Trazom

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Die zweite Regel (mit dem t) kommt doch gar nicht zur Anwendung, weil du eine Abhängigkeit von zwei Variablen hast und nicht nur einer.

Die partielle Ableitung stimmt schon.

13.08.2005, 10:59

phi

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Danke für die Antwort.
Einerseits verstehe ich sie, andererseits auch nicht, da die phi(t)-Funktion doch auch mehrdimensional ist, d.h. t besteht aus t_1, ..., t_n- Komponenten und der Nabla impliziert doch auch mehrdimensionalität...

Kurz: Wann kommt die Kettenregel II genau zur Anwendung?

Im Buch ist phi:I--->IR^n eine im Punkte t aus I differenzierbare Kurve.

Geht es da eher um implizite Funktionen?

mfg, phi.

13.08.2005, 11:18

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Dein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist ein Skalarfeld in der Ebene, und $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \end{eqnarray*}$ beschreibt eine mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ parametrisierte Kurve in dieser Ebene. Dazu passend hat man entlang dieser Kurve die Skalarfeld-Werte $\begin{eqnarray*} f(t)=g(\varphi(t)) \end{eqnarray*}$ . Und die Ableitung dieser Funktion ist dann nun mal über

$\begin{eqnarray*} f'(t)=\nabla g(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \end{eqnarray*}$

berechenbar. War das in etwa deine Frage?

13.08.2005, 11:44

phi

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Ja, danke! Deswegen hat wohl t mich so an implizite Funktionen errinnert.

13.08.2005, 20:36

Trazom

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Zum Beispiel braucht man für folgende Funktion die zweite Kettenregel

$\begin{eqnarray*} F(t) = (\alpha (t),\beta (t)) \end{eqnarray*}$

14.08.2005, 16:19

WebFritzi

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Etwas zum Mehrdimensionalen:

Deine Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y) = e^{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} g(t) = e^t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) = g(h(x,y)) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f'(x,y) = g'(h(x,y))\cdot h'(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Wegen

$\begin{eqnarray*} g'(t) = e^t \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} h'(x,y) = (2x,2y) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} f'(x,y) = e^{x^2 + y^2}\cdot (2x,2y) = (2xe^{x^2 + y^2},2ye^{x^2 + y^2}) \end{eqnarray*}$ .

Deine partielle Ableitung steht in der ersten Komponente.

14.08.2005, 18:22

iammrvip

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@WebFritzi
Hallo Wink

Endlich mal wieder hier smile

. Sehr sehr lange nich mehr gesehen.

15.08.2005, 11:24

phi

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Ah, danke, das ist der Zusammenhang. Aber mit der totalen Ableitung hat das nichts zu tun, oder?

Es ist einfach der Vektor der aus den partiellen Ableitungen besteht.

mfg, phi.

15.08.2005, 15:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von phi
Aber mit der totalen Ableitung hat das nichts zu tun, oder?
Es ist einfach der Vektor der aus den partiellen Ableitungen besteht.

Genau das ist die totale Ableitung.

Hallo, iammrvip. Wink

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