Asymptote exakte korrekte Schreibweise

12.08.2005, 20:32

datAnke

Asymptote exakte korrekte Schreibweise

Hallo
ich hab mal wieder das Problem wie schreib ich das ordentlich auf. verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{ e^x -2}{e^x+1} \end{eqnarray*}$

man soll nun die Asymptoten bestimmen

wenn ich mir das recht überlege wenn x unendlich gross wird dann sind Nenner und Zähler fast gleich und somit $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ (fast)
1.Asymptote $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$

wenn x unendlich klein dann ist das $\begin{eqnarray*} (-2)/1=(-2) \end{eqnarray*}$
2.Asymptote $\begin{eqnarray*} y=(-2) \end{eqnarray*}$

wie muss ich eigentlich meine überlegung ordentlich aufschreiben?

aber
wenn ich Asympoten berechnen will muss ich die doch den linearen Anteil finden ? oder ? verwirrt

wenn ich nun $\begin{eqnarray*} (e^x-2)/(e^x+1)=1 Rest(-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x-2=e^x+1-3 \end{eqnarray*}$
wie passt das nun zusammen verwirrt

danke
datAnke

12.08.2005, 20:54

sqrt(2)

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RE: Asymptote exakte korrekte Schreibweise

Zitat:

Original von datAnke
wenn ich Asympoten berechnen will muss ich die doch den linearen Anteil finden ? oder ? verwirrt

Ich wüsste nicht, dass der linear sein muss. $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Asymptote zu $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , wenn gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)-g(x)=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt vor allen Dingen: alle Summanden in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , die Nullfolgen sind, sind für $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ uninteressant. Du könntest hier \frac{e^x}{e^x} ausklammern oder auch eine Polynomdivision durchführen (den Rest nicht als Rest, sondern als Bruch schreiben!), um g(x) zu bestimmen.

Was du da nach der Polynomdivision genau gemacht hast, ist mir ein bisschen schleierhaft. Wenn du rein formal richtig vorgehen willst, musst du einfach nur dein $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ aus dem Ärmel ziehen und die oben freigestellte Gleichung nachweisen, dann hast du nachgewiesen, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ eine Asymptote an $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist.

12.08.2005, 23:58

datAnke

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RE: Asymptote exakte korrekte Schreibweise
Danke für Deine Bemühungen,

ich weiss immer noch nicht wie ich das schreiben muss
traurig

datAnke

13.08.2005, 00:21

derkoch

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also wenn du grenzwert betrachtung machst würde ich vorschlagen wie es dir sqrt(2) schon hingeschrieben hat

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=... \end{eqnarray*}$

du läßt x gegen +- unendlich laufen und siehst ja gegen welchen grenzwert die funktion konvergiert oder auch nicht.

13.08.2005, 00:22

sqrt(2)

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Formal richtig ist es, wenn du nicht verrätst, wo du eigentlich deine Asymptotenfunktion (sie sei g(x)) herhast, sondern einfach nur zeigst, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) - g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist in der Regel sehr einfach, weil einfach nur Nullfolgen übrigbleiben, wenn du $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ ausrechnest.

Dein Lehrer wird aber wahrscheinlich auf einem Rechenweg bestehen. Du könntest das z.B. so machen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^x-2}{e^x+1}=\frac{e^x}{e^x}\cdot\frac{1-\frac{2}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}=\frac{1-\frac{2}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}} \end{eqnarray*}$

Die Brüche in Zähler und Nenner streben gegen null.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)-1=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x-2}{e^x+1}-\frac{e^x+1}{e^x+1}=\lim_{x\to\infty}-\frac{3}{e^x+1}=0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} g(x)=1 \end{eqnarray*}$ Asymptote an $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

13.08.2005, 16:40

Frooke

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@sqrt(2): Dein Lösungsweg ist zwar einwandfrei, aber hier gehts noch einfacher:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{\mathrm{e}^x-2}{\mathrm{e}^x+1}=\frac{\mathrm{e}^x+1-3}{\mathrm{e}^x+1}=1-\frac{3}{\mathrm{e}^x+1} \end{eqnarray*}$
und der Rest ist ja dann klar smile

14.08.2005, 16:28

datAnke

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dank super nun hab ich es Gott

wunder dauern manchmal etwas länger Augenzwinkern

danke
datAnke

14.08.2005, 16:59

iammrvip

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Formal richtig ist es, wenn du nicht verrätst, wo du eigentlich deine Asymptotenfunktion (sie sei g(x)) herhast, sondern einfach nur zeigst, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) - g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist in der Regel sehr einfach, weil einfach nur Nullfolgen übrigbleiben, wenn du $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ ausrechnest.

Um jedoch Missverständnissen bzw. Fehldeutungen vorzubeugen, würde ich Klammern setzen Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to\infty} \left( f(x) - g(x)\right) = 0 \end{eqnarray*}$

14.08.2005, 17:10

Poff

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Klammern,
*lol*, mal umgekehrt

es weiß doch jeder ...

14.08.2005, 17:21

iammrvip

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Zitat:

Original von Poff
es weiß doch jeder ...

Jo klar weiß jeder, dass...

aber...wie uns unsere Chemie-Lehrerin immer gesagt hat: Bei der Korrektur stellt sich der Lehrer immer dumm....

14.08.2005, 17:41

Leopold

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Zunächst einmal macht es einen Unterschied, ob eine Klammer steht oder nicht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = - \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{dagegen:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man einwenden, daß das spitzfindig ist und bei dieser Asymptotenaufgabe offensichtlich ist, was gemeint ist.
Diese Argumentation verkennt aber, daß, so sagt es jedenfalls meine Erfahrung, Schüler, die an dieser Stelle keine Klammer setzen, oft auch an anderen Stellen so verfahren. Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+1} - \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{x-x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Und hier zeigt sich der Fehler klar. Es reicht eben doch nicht, das Richtige zu meinen. Man muß es auch richtig schreiben.

Aus meiner langjährigen Erfahrung kann ich sagen: Der häufigste Fehler im Termkalkül, noch vor dem Vorzeichenfehler, ist der Fehler "fehlende Klammer". Und nicht immer geht es dann so harmlos aus wie in der Asymptotenaufgabe ...

Aus prinzipiellen Gründen ist daher meine Devise: Wehret den Anfängen! Ich stimme also Poffs Verharmlosungsthese dezidiert nicht zu.

14.08.2005, 17:52

Poff

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Zitat:

Original von Leopold
Aus prinzipiellen Gründen ist daher meine Devise: Wehret den Anfängen! Ich stimme also Poffs Verharmlosungsthese dezidiert nicht zu.

RICHTIG, denn das war ja auch ein ironische "Retourkutsche" auf sqrt(2)
was du aber scheinbar nicht bemerkt hast

14.08.2005, 17:58

Leopold

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Ich habe das als Kritik an iammrvips Einwand aufgefaßt, den ich für berechtigt hielt.

14.08.2005, 18:16

Poff

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Mit 'iammrvips Einwand' hatte das nichts zu tun ...,
der kam nur soo gelegen, dass er dafür 'herhalten musste'

14.08.2005, 18:53

sqrt(2)

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Irgendwann sollten wir das mit den Formalismen mal ausführlich durchdiskutieren, aber eure Fraktion ist dazu ja weniger bereit...

Tatsächlich habe ich mich aus meiner Sicht formal korrekt verhalten, weil genau dann, wenn hinterher noch ein Term folgt, der nicht zum Grenzwert hinzugehört. Ich habe hier gemerkt, dass das keine so gute Idee ist, und werde mich in Zukunft an die von iammrvip und Leopold vorgeschlagene Schreibweise halten.

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