Kreuzableitung

12.08.2005, 20:05

Mexaner

Hallo, bin gerade am verstehen von "Partiellen Ableitungen mit mehreren Veränderlichen". Mein Problem bezieht sich dabei auf die Kreuzableitung.

Ich hoffe ihr könnt mir beim Verstehen helfen, folgende Funktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=3e^{-xy}+x^3 \end{eqnarray*}$

1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_x=-3ye^{-xy}+3x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y=-3xe^{-xy} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=3y^2e^{-xy}+6x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy}=3x^2e^{-xy} \end{eqnarray*}$

Und jetzt soll man irgendwie die Kreuzableitung anwenden, nur leider hab ich absolut keine Ahnung wie die funktioniert, das einzige was ich bisher weiß ist dass man entweder $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ macht, es ist egal bei beidem kommt man zum selben Ergebnis.

Also in dem Beispiel sollte die Kreuzableitung wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} f_{xy}=-3e^{-xy}+3xye^{-xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$

Gibt es dafür ein Formel? Was bewirkt überhaupt die Kreuzableitung?

12.08.2005, 20:22

derkoch

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das hängt mit dem satz von schwarz zusammen!

der besagt, daß , wenn die partiellen ableitunge n-ter ordnung stetig sind, dann kann die die reihenfolge der partiellen ableitungen vertauscht werden.

dh. es ist dann egal ob du zuerst nach x ableitest und dann nach y oder umgekehrt herum

12.08.2005, 21:40

Mexaner

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Hallo also ich habe mir mal auf Wikipedia den Artikel zum "Satz von Schwarz" durchgelesen und versucht zu verstehen.

Bedeutet er dass ich f(x,y) nach x ableite und danach das Ergebnis nach y? Ich glaube allerdings dass das nicht stimmt weil bei mir kam eben nix sinnvolles raus.

Ich wollte $\begin{eqnarray*} f_y=-3xe^{-xy} \end{eqnarray*}$ nach x ableiten und dann käme da ja $\begin{eqnarray*} f_{yx}=3xye^{-xy} \end{eqnarray*}$ raus. Das ist aber nur der letzteTeil der Lösung, wie komme auf den ersten? verwirrt

12.08.2005, 22:10

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Mexaner
Ich wollte $\begin{eqnarray*} f_y=-3xe^{-xy} \end{eqnarray*}$ nach x ableiten und dann käme da ja $\begin{eqnarray*} f_{yx}=3xye^{-xy} \end{eqnarray*}$ raus.

Nein. Produktregel.

12.08.2005, 23:50

Mathespezialschüler

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Bitte für eine neue Frage auch ein neues Thema aufmachen! Danke.

Gruß MSS

13.08.2005, 00:30

Mexaner

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Zitat:

Nein. Produktregel.

Ah, verdammt....da hätte ich aber echt selbst drauf kommen können Hammer

! Naja jetzt habs ich hin bekommen, danke!