konvergenz

13.08.2005, 14:33

john

konvergenz

guten tag,

ich soll die folgende reihe auf konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{{(k!)}^2} {(2k)!} \end{eqnarray*}$ .

woher weiß ich denn welches kriterium ich verwenden soll?
danke schonmal für eure hilfe.

13.08.2005, 14:48

sqrt(2)

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Mit dem Quotientenkriterium funktioniert's gut, weil man sämtliche Fakultäten dann wegkürzen kann.

13.08.2005, 15:19

john

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also dann so:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1!)^2 (2k)! }{(2k+1)!(k!)^2}=\frac{(k+1)^2 (2k)!}{(2k+1)!} = \frac{(k+1)^2}{2k+1} \end{eqnarray*}$

oder?

13.08.2005, 15:25

john

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das wäre ja dann.

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2+2k+1 }{2k+1} \end{eqnarray*}$

und was mache ich dann?

13.08.2005, 18:50

john

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um konvergenz zu zeigen muss das doch kleiner als 1 sein. oder? ist das dann divergent?

13.08.2005, 23:11

Mathespezialschüler

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Nein, es muss nicht nur $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ sein, sondern es muss eine Zahl $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ geben, sodass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<q \end{eqnarray*}$

für fast alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert! Z.B. ist für die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{k}{k+1}<1 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber die Reihe divergiert!!
Desweiteren hast du falsch umgeformt, was auch an der mangelnden Klammersetzung liegen kann!!! Sei $\begin{eqnarray*} b_k=\frac{(k!)^2}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ , dann ist nämlich:

$\begin{eqnarray*} b_{k+1}=\frac{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}=\frac{((k+1)!)^2}{(2k+2)!} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt rechne nochmal!! Augenzwinkern

Gruß MSS

14.08.2005, 01:20

john

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hab das jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \frac{((k+1)!)^2(2k)!}{(2k+2)!(k!)^2} = \frac{(k+1)^2(2k)!}{(2k+2)!} \end{eqnarray*}$

bin mir dann nicht so sicher ob das stimmt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)} \end{eqnarray*}$

14.08.2005, 01:24

sqrt(2)

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Das ist richtig. Jetzt kürzen und eine Polynomdivision durchführen.

14.08.2005, 01:29

john

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oder doch nur

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2}{(2k+2)} \end{eqnarray*}$ ?

14.08.2005, 10:27

john

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bitte meinen letzten beitrag ignorieren (ein ganz doofer denkfehler).

ich hab jetzt noch weiter gekürzt.

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{4k+2} \end{eqnarray*}$

wie soll ich jetzt weitermachen?

14.08.2005, 11:01

klarsoweit

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jetzt mußt du eine Zahl q < 1 finden, so daß für fast alle k gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{4k+2} < q \end{eqnarray*}$

Alternativ kannst du auch den Grenzwert für k gegen unendlich bilden. Wenn der Grenzwert < 1 ist, gibt es automatisch ein solches q.

14.08.2005, 12:24

john

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$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{4k+1} \leq \frac{1}{2} = q<1 \end{eqnarray*}$

14.08.2005, 12:42

john

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kann ich das so stehen lassen?

14.08.2005, 12:57

sqrt(2)

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Schreib es lieber so:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{4k+1} < \frac{1}{2} = q < 1\quad\forall k > 1 \end{eqnarray*}$

Der Quotient muss nämlich ab einem bestimmten k echt kleiner als q sein.

14.08.2005, 14:06

john

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vielen vielen danke für eure hilfe. Freude

14.08.2005, 14:18

ulli

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wie kommt john denn auf das " $\begin{eqnarray*} <\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ "

14.08.2005, 18:03

Mathespezialschüler

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Das weiß ich nicht. Aber z.B. geht es mit folgender Abschätzung, die für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{4k+1}<\frac{k+1}{4k}<\frac{2k}{4k}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.08.2005, 15:12

WebFritzi

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und auch für $\begin{eqnarray*} k = 1 \end{eqnarray*}$ .

15.08.2005, 15:39

Leopold

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Dann aber so:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{4k+1} < \frac{k+1}{4k} \leq \frac{2k}{4k}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

15.08.2005, 15:47

WebFritzi

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Pedant.