Kurvendisskusion - Seite 2

17.08.2005, 19:28

derkoch

Zitat:

Original von Kira 007
Nun dann müsste es wieder klar sein für mich

wenn ich das nämlich ausrechne bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{4}*0^4 \end{eqnarray*}$ =0 demnach müsste der Wert ein Tiefpunkt sein

Gruß Kira

falsche folgerung!!!

hier kann zu diesem zeitpunkt keine aussage gemacht werden!!!

17.08.2005, 19:30

Kira 007

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warum das und nun ?

ach so schon verstanden aber was kann ich nun weiter machen

vfon den VZW habe ich schon mal gehört, weiß aber leider nicht genau wie geht

17.08.2005, 19:35

derkoch

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weil die bedingung dafür ist daß

$\begin{eqnarray*} f''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muß!!

hier liegt aber der fall vor, daß $\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, deshalb kannst du keine aussage machen.

wie es weiter geht? siehe mercanys beitrag!

17.08.2005, 19:37

Kira 007

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Ja mit dem VZW Verfahren

aber was genau muss ich dafür machen, steht sogar was von in meinem Buch, schaue mir das auch mal an.

Das kann ich mir im Buch ja mal ansehen.

Vielleicht übe ich lieber noch eine

$\begin{eqnarray*} x^5+3x^4+2x^3+2 \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

18.08.2005, 12:58

mercany

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@Kira

Wenn du das VZW Kriterium noch nicht hattest, dann kannst du es auch einfach über die Ableitungen überprüfen.

Leite einfach soweit ab, bis $\begin{eqnarray*} f(x)^n \neq 0 \end{eqnarray*}$ wird!

edit:

Für $\begin{eqnarray*} f(x)^n \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt dann noch:

$\begin{eqnarray*} n = \text{gerade} \Rightarrow \text{Hochpunkt/Tiefpunkt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n = \text{ungerade} \Rightarrow \text{Sattelpunkt} \end{eqnarray*}$

18.08.2005, 16:19

Kira 007

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Erst einmal 100 Dank für eure Hilfe!!! finde es super das hier mir dabei so super helft.

Zum VZW Verfahren: das schaue ich mir mal an in meinem Mathebuch.

Würde gerne erst einmal zu der Aufgabe über diesem Beitrag zurück kommen.

Gruß Kira

18.08.2005, 16:31

mercany

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} x^5+3x^4+2x^3+2 \end{eqnarray*}$

Na, dann mach erstmal ne Funktion raus und dann leg mal los! Augenzwinkern

18.08.2005, 17:15

Kira 007

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Wie den ?

18.08.2005, 18:34

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+3x^4+2x^3+2 \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich doch wieder die Nullstellen berechnen, nur wie ?

Gruß Kira

18.08.2005, 18:37

sqrt(2)

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Das wird dir allerdings schwer fallen.

Da musst du wohl das Netwtonsche Näherungsverfahren (oder ein anderes deiner Wahl) bemühen.

18.08.2005, 18:49

Kira 007

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ne Newtisches Näherungsverfahren ist schon Ok das habe ich ja vor kurzem kennen gelernt.

$\begin{eqnarray*} h-\frac{h}{h'} \end{eqnarray*}$

Aber wie berechne ich es jetzt hier bei ?

Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, so wie bei der anderen Aufgabe?
Gruß Kira

18.08.2005, 18:58

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+3x^4+2x^3+2 \end{eqnarray*}$

Anschliessend bestimmst du die 2. Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und setzt beides + einen von dir gewählten Startwert in die Rekursionsvorschrift ein.

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} h-\frac{h}{h'} \end{eqnarray*}$

Ganz ehrlich Kira. Deine mathematische Schreibweise ist wirklich unzureichend. Was soll das da denn bitte ergeben? Das ist genauso eine Sache wie mit dem schreiben von Funktionen. Was du da schreibst sind einfach nur irgendwelche Terme, mit denen kannst du nichts machen und soetwas wird dich in Klausuren viele Punkte kosten! Ist nicht böse gemeint, aber probier dran zu denken. smile

Also, die Rekursionsvorschrift lautet: $\begin{eqnarray*} x_{n+1}:=N_f(x_n):=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

\\edit: Latex und Rechtschreibung

18.08.2005, 19:11

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, werde in zukunft auf die schreibweise achten, den so verschenkt man wirklich Punkte in Klausuren.

so nun zur Aufgabe smile

$\begin{eqnarray*} f' (x)=5x^4+12x^3+6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' (x)=20x^3+36x^2+6 \end{eqnarray*}$

als Anfangswert wähle ich mal 1,5

$\begin{eqnarray*} Nf (xn)=1,5-\frac{31,53}{74,82}=1,08 \end{eqnarray*}$

das müsste ich natürlich noch weiter führen.

GRuß Kira

18.08.2005, 20:43

mercany

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Das ist leider nicht richtig!

1. Die erste Ableitung lautet richtig $\begin{eqnarray*} f'(x) = 5x^4 + 12x^3 + 6x^2 \end{eqnarray*}$
2. Ich weiß nicht, warum du die 2. Ableitung gebildet hast, hast du die etwa verwendet?!

$\begin{eqnarray*} X_{n+1}:= x_n - \frac{\text{Stammfunktion}}{\text{1. Ableitung}} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

19.08.2005, 12:23

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man was bin ich doof wenn mir das in einer Klausur passiert ist es nicht mehr so lustig smile

so hier nochmal richtig

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+3x^4+2x^3+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4+12x^3+6x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3+36x^2+6 \end{eqnarray*}$

als Anfangswert nehme ich wieder 1,5

$\begin{eqnarray*} 1,5-\frac{31,53}{79,31}=1,10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~10,24 \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

19.08.2005, 14:44

mercany

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Ja, passt! Jedoch solltest du die Zahlen nicht so ungenau beim Rechnen benutzen, das führt hinterher zu ungenauen Ergebnissen.

$\begin{eqnarray*} X_{n+1}:= 1.5 - \frac{31.53125}{79.3125} = 1.102442868 \end{eqnarray*}$

Jetzt mal weiter!

edit: Was sollen denn die $\begin{eqnarray*} 10.24 \end{eqnarray*}$ darstellen verwirrt

Gruß, mercany

19.08.2005, 14:51

Kira 007

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Ok, ich verzichte jetzt mal darauf das Verfahren weiterzuführen, da ich ja weiß wie es geht, müsste ja jetzt mit dem errechneten Wert weiterrechnen.

$\begin{eqnarray*} 20x^3+36x^2+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20*1,10244^3+36*1,10244^2+6 =76,53 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} >0=Tiefpunkt \end{eqnarray*}$

Das weiß ich auch nicht so recht das wäre eine Umwandlung von q zu p, nur das ist bei dieser Aufgabe schwachsinn.

Gruß Kira

19.08.2005, 15:01

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
Ok, ich verzichte jetzt mal darauf das Verfahren weiterzuführen, da ich ja weiß wie es geht, müsste ja jetzt mit dem errechneten Wert weiterrechnen.

Ähm, du solltest hierbei ganz gewaltig aufpassen.

Wenn du schon nicht weiterrechnen willst, dann solltest du wesigstens die korrekte Nullstelle zur Diskussion verwenden.

Diese wäre für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+3x^4+2x^3+2; x_0 = -2.168028119 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} 20x^3+36x^2+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20*1,10244^3+36*1,10244^2+6 =76,53 \end{eqnarray*}$

Achte auf deine Schreibweise!!!

Zitat:

Original von Kira 007
Das weiß ich auch nicht so recht das wäre eine Umwandlung von q zu p, nur das ist bei dieser Aufgabe schwachsinn.

Gruß Kira

Bitte was?

19.08.2005, 15:07

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Super dann weiß ich ja jetzt schon mal wie es geht, natürlich würde ich in der regel weiterrechnen, möchte aber lieber jetzt erst mal weiter üben.

Könnte natürlich dann auch noch den y wert des Hochpunktes berechnen.

jetzt habe ich noch eine ganz wichtige Frage ab wann muss ich den auf das Newtische Näherungsverfahren zurückgreifen.

Gruß Kira

19.08.2005, 15:13

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, zum Beispiel in so einem Fall wie hier, wenn du Polynomdivision durchführen möchtest, aber es nicht möglich ist die NST zu erraten!

edit: Übrigens, nur den Hochpunkt oder Tiefpunkt ausrechnen ist nur ein ganz winziger Teil einer "kompletten" Kurvendiskussion! Augenzwinkern

Gruß, mercany

19.08.2005, 15:19

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

na zum Beispiel bei dieser Funktion

$\begin{eqnarray*} f (x) =3x^47-4x^3 \end{eqnarray*}$

was wäre damit verwirrt

habs nämlich nicht ganz verstanden

Polynomdivision würde mich auh sehr interessieren.

Gruß Kira

19.08.2005, 15:22

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} f (x) =3x^47-4x^3 \end{eqnarray*}$

Ich glaube, da fehlt was! smile

19.08.2005, 15:34

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

das glaube ich auch

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^4+7x^3 \end{eqnarray*}$

hier schon mal wieder die Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=12x^3+21x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=36x^2+42x \end{eqnarray*}$

nur wie erkenne ich nun wie ich am besten vorgehe ?

Gruß Kira

19.08.2005, 15:39

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, hier kannst du eine NST auf jeden Fall schonmal sagen! Augenzwinkern

Die zweite wird eher schwerer... Allerdings lässt sich hier ohne weiteress Polynomdivision durchführen!

Gruß, mercany

19.08.2005, 16:39

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

@kira

wenn sowas was auftaucht, nicht immer mit aller gewalt versuchen ne polynomdivision durch zuführen
manchmal hilft auch ein bißchen genauer hinschauen und überlegen ob ma etwas ausklammern kann...

es ist dann nämlich leichter die nullstellen zu finden smile

19.08.2005, 17:44

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ausklammern kenne ich

$\begin{eqnarray*} f'(X)=x(12x^2+21x) \end{eqnarray*}$

so ungefär, die polinomdivision kenne ich noch nicht nur muss man dort nicht einen gemeinsamen Teiler finden?

Hätte aber echt interesse Augenzwinkern

Gruß Kira

19.08.2005, 17:55

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

die nullstellen, sind fast immer ganzzahlige teiler des absolut gliedes.

19.08.2005, 19:57

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

@koch
bei dieser aufgabe haut das aber leider nicht so hin Augenzwinkern

19.08.2005, 22:36

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

warum so umständlich ?
wir sollten hier cardano anwenden geschockt

$\begin{eqnarray*} f'(x)=12x^3+21x^2 \end{eqnarray*}$
ausklammern:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^2 \cdot (12x + 21) \end{eqnarray*}$

und dann haben wir ja eine lineare gleichung in der klammer mit 12x + 21 = 0 ..

$\begin{eqnarray*} 12x+21 = 0 \\ \rightarrow x=- \frac {21}{12} \text {wer sich in der lage dazu fühlt darf hier noch kürzen} \end{eqnarray*}$

des kannste auf andere aufgaben sinngemäß übertragen ...

servus

20.08.2005, 00:03

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Du, ich glaube nicht, dass Kira eine Ahnung von Cardano hat.
Ausserdem finde ich Cardano sehr sehr sehr unschön!

Deshalb hatte ich es auch garnicht erst erwähnt....

20.08.2005, 08:08

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Jan
Das war wohl eher ironisch gemeint! Augenzwinkern

Gruß MSS

20.08.2005, 09:26

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, des war nicht ganz ernst gemeint Augenzwinkern

ich finde für die aufgabe auch polynomdivision schon heillos übertrieben !

wies schnell geht sieht man oben im anderen beitrag ...

servus

20.08.2005, 10:47

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooooo!!! Ich dachte, du hättest das aufs "Generelle" bezogen.

Na dann ist Okey smile

- Ich finde Cardano ja auch in Ordnung, nur ist es etwas "unschön" Big Laugh

Zitat:

ich finde für die aufgabe auch polynomdivision schon heillos übertrieben !

Ja, aber wenn man es erstmal nicht sofort sieht, dann gibt Polynomdivision eigentlich den entscheidenen Anhaltspunkt! Augenzwinkern

Gruß, mercany

20.08.2005, 11:16

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
das glaube ich auch

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^4+7x^3 \end{eqnarray*}$

hier schon mal wieder die Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=12x^3+21x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=36x^2+42x \end{eqnarray*}$

nur wie erkenne ich nun wie ich am besten vorgehe ?

Gruß Kira

Wie man am besten vorgeht?

1. Schauen, ob man x herausheben kann, denn durch Herausheben macht man eine Multiplikation, die 0 ergibt:

12x³ + 4x² = 0

x² ( 12x + 4) = 0

Eine Multiplikation ergibt nur dann null, wenn einer der beiden Faktoren null war:

daher ist nun entweder:

x² = 0 >> x1 = 0

oder

12x + 4 = 0 >> x2 = - 4/12

2. Wenn man nicht herausheben kann, dann muss man Polynomdivision anwenden, indem man eine Nullstellen durch Erraten herausfindet und dann die ganze Gleichung durch (x - gefundener Nullstelle) durchdividiert.

z.b.

x³ - 2x + 2x - 1 = 0

Jetzt für x Zahlen einsetzen, sodass die Gleichung stimmt.
Wenn du für x = 1 einsetzt, dann siehst du, dass rauskommt: 0 = 0

Daher ist 1 eine Nullstelle.
Nun die Gleichung durch ( x - 1) durchdividieren:

x³ - 2x + 2x - 1 : (x - 1) = x² - x + 1
x³ - x²
- +
______
0 - x² + 2x
- x² - x
+...+
_________
...0 + x - 1
......+ x - 1
......-.....+
__________
......0 Rest

Nun ist eine quadratische Gleichung übrig geblieben:

x² - x + 1 = 0

die du mit der Lösungsformel auflösen kannst.
Und somit hast du dann alle Nullstellen dieser Gleichung 3. Grades.

lg kiki

21.08.2005, 07:24

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Puuh was ist das viel neuer Stoff für mich Cardano kenne ich in der tat nicht, würde mir das aber auch gerne anschauen.

nur wo soll ich am besten nun anfangen, denn so etwas habe ich bisher an meiner alten Schule nie gehabt.

Sorry das ich gestern nicht da war ?
Gruß Kira

21.08.2005, 09:48

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir den Thead nacheinmal ganz durchgelesen.

mercany sagte das das berechnen der Extrema nur ein ganz winziger teil einer kompletten Kurvendiskussion sei.

In der Schule hatte ich schon durchaus Kurvendiskussion, und hatte auch nie Probleme damit nur wir hatten nur immer Funktionen bis

$\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ danach würde ich wie gesagt auf dem Schlauch stehen.

Deshalb würde ich mich freuen wenn ich es hier erlernen könnte

Gruß Kira smile

21.08.2005, 09:53

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Grad Cardano braucht man in der Schule extrem selten. Entweder ergibt sich etwas durch Ausklammern und andernfalls lässt sich oft mit dem Erraten einer Nullstelle und Polynomdivision arbeiten.

In Deinem Fall kannst Du ja stets durch Ausklammern ein Produkt mit zwei Faktoren erzeugen, wobei der eine mit der PQ- oder der Mitternachtsformel gelöst werden kann. In diesem Sinn stellt sich ja das Problem nicht.

PQ- und Mitternachtsformel kennst Du?

PS: Zu deinem letzten Posting: Bei Deiner Aufgabe kannst Du ja das Problem immer bis auf Grad eins reduzieren! Also kein Problem.

Und sonst solltest Du eben - falls noch unbekannt - die Polynomdivision lernen.

Gruß

21.08.2005, 10:05

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wiki hilft:
hier die beschreibung des prinzips des ausklammern
und hier die erklärung der polynomdivision

cardano ist eine erweiterung der lösungformel von quadratische auf kubische gleichungen. relativ kompliziert weil sehr unübersichtlich ..

zu einer kompletten kurvendisskusion gehören auf der einen seite so banale sachen wie nullstellen oder polstellen aber auch wendepunkte monotonieverhalten oder symetrie und so weiter.

aber meistens steht ja dabei was alles gefordert ist, oder der dozent/lehrer sagt vorher was er alles in ner prüfung erwartet.

bei polynomen höheren grades hilft gibt es mehrere methoden.
1) näherungsverfahren
2) polynomdivision
3) ausklammern
4) cardano (bei kubischen)
5) substitution (bei bi-quadratischen)

aber in der schule kommt nur sehr selten sowas dran, und wenn dann wirds vorher bis zum erbrechen geübt Augenzwinkern

servus

21.08.2005, 10:15

Frooke

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Zitat:

Original von Lazarus
bei polynomen höheren grades hilft gibt es mehrere methoden.
1) näherungsverfahren
2) polynomdivision
3) ausklammern
4) cardano (bei kubischen)
5) substitution (bei bi-quadratischen)

1, 2 und 3 bin ich einverstanden, aber Cardano gibt es auch für biquadratische Gleichungen und zu 5: Allgemein kannst Du da mit Subsitution nur wenig machen!

Eine biquadratische Gleichung hat die Form:
$\begin{eqnarray*} ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \end{eqnarray*}$

Aber beim Spezialfall b=0, d=0 hast Du natürlich recht!

21.08.2005, 10:26

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

hast natürlich recht frooke.

aber in der schule is das höchste an gefühlen schon ein $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray*}$
also soweit ich das schon erfahren durfte ^^

servus

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