Kurvendisskusion - Seite 3

21.08.2005, 10:49

Kira 007

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die p und q Formel kenne ich, die Mitternachtsformel aber noch nicht

PS: habe mich mal bei wikipedia umgesehen, löst man die Mitternachtsformel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung?

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2=1 \end{eqnarray*}$

X1 =3
x2 =1

Gruß Kira

Gruß Kira

21.08.2005, 11:56

Frooke

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Sie löst einfach auch den allgemeinen Fall, falls a nicht =1.

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$
ergibt nach x aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} x_{1{,}2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

EDIT: =1 draus gemacht! Vielen Dank Max!

21.08.2005, 12:07

Kira 007

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habe einen beitrag weiter oben mal eine Aufgabe zu dem Thema gelöst

Ach ja was mich noch interessieren würde wist hier warum die Mitternachtsformel überhaupt so gennat wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Kira

21.08.2005, 12:14

Mathespezialschüler

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@Frooke
Du meinst a=1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Kira
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3409

Gruß MSS

21.08.2005, 12:21

mercany

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Hi Kira,

soweit in Ordnung!
Jetzt noch Wurzel ziehen und Betragsstriche setzen, da x unbekannt.

Ich weiß nicht, ob es dir bekannt vorkommt, aber jetzt kannst du auch ganz einfach den Scheitelpunkt ablesen. (Scheitelpunktsform)

PS: Ich seh da schon wieder oben nur ein Term... Wo ist die Gleichung?!!

Gruß, mercany

21.08.2005, 12:23

Frooke

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@Kira: Quadratische Ergänzung ist natürlich auch eine Methode, hatte ich vergessen zu erwähnen! Und letztlich erhält man die Mitternachtsformel auch durch quadratische Ergänzung! Siehe sonst mal hier (etwa der 7. Post auf der Seite!)

LG

@Mike Du kannst auch direkt auf den Beitrag verlinken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier! (Jan)

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21.08.2005, 12:33

Kira 007

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wie schreibt man den nochmal Wurzeln mit latex vergesse das immer

den scheitelpunkt kenne ich das wäre für diese Aufgabe

$\begin{eqnarray*} (2;1) \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

21.08.2005, 12:36

mercany

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Die normale Wurzel schreibst du so: \sqrt{x}
Die nte Wurzel schreibst du so: \sqrt[n]{x}

Was deinen Scheitelpunkt betrifft, so ist das nicht ganz richtig!

Der Scheitelpunkt liegt bei $\begin{eqnarray*} S(2|-1) \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

21.08.2005, 12:50

Kira 007

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Das mit dem scheitelpunkt verstehe ich jetzt aber nicht

hier nochmak eine Aufgabe

$\begin{eqnarray*} y=x^2+4x+2^2-2^2+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=(x+2)^2-2^2+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=(x+2)^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(-2;-1) \end{eqnarray*}$

ist nur aus dem Buch abgetippt

das ist bei der Aufgabe davor doch auch nichts anders

Gruß Kira

21.08.2005, 12:57

mercany

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$\begin{eqnarray*} (x-2)^2 &=& 1 \\ (x-2)^2 - 1 &=& y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(2 | -1) \end{eqnarray*}$

Klar?

21.08.2005, 13:45

Lazarus

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kannst auch direkt aus der grundgleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ zur scheitelpunktsform kommen mit: $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-\gamma)^2 + (c+ \frac{b}{2})~;~ \text~ {mit}~~ \gamma = \frac {b} {2a} \end{eqnarray*}$ dann die koords sind dann des gamma in der ersten klammer als x und y als die zweite klammer.
oder, falls die formel nedmal gefordert ist:
$\begin{eqnarray*} S \left( \frac {b}{2a}~;~ c+ \frac {b}{2} \right) \end{eqnarray*}$
damit kommst du direkt hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

21.08.2005, 14:14

mercany

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@Lazarus

Gilt das für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ?

21.08.2005, 14:24

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal ich weiß wo der fehler liegt, denn so habe ich es doch gelernt

es müsste doch ein unterschied sein zwischen

$\begin{eqnarray*} (2x-2)^2=1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} (2x-2)^2-1 \end{eqnarray*}$

sonst verstehe ich es leider nicht das kann doch nicht total falsch sein

Gruß Kira

21.08.2005, 14:38

mercany

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$\begin{eqnarray*} (2x-2)^2 &= 1 \\(2x-2)^2 -1 &= 0 \end{eqnarray*}$

Wo soll da bitte ein Unterschied liegen? Das ist beides zueinander Äquivalent!

21.08.2005, 14:39

Frooke

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Zitat:

Original von Kira 007

$\begin{eqnarray*} (2x-2)^2=1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} (2x-2)^2-1 \end{eqnarray*}$

Da fehlt was: Das zweite ist keine Gleichung!

Meinst Du
$\begin{eqnarray*} (2x-2)^2=1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} (2x-2)^2-1=0 \end{eqnarray*}$

Falls ja dann sind die Aussagen äquivalent!

21.08.2005, 14:43

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber warum habe ich es dann immer in der schule so gemacht es steht ja sogar bei mir im Buch

Komisch,

21.08.2005, 14:46

mercany

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Was steht bei dir im Buch?

Das was du vorhin hier aus deinem Buch gepostet hast ist das Gleiche, wie das was wir hier gesagt bzw. angewand haben!

21.08.2005, 14:51

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment ich löse am besten nocheinmal eine Aufgabe den sonst kommt es nur zu Missverständnissen

also wir nehmen mal $\begin{eqnarray*} x^25+10x=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+10x=-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+10x+25=15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+5)^2=-15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(-5/-15) \end{eqnarray*}$

da stimmt was nicht moment

habe gerade in meinen Mathesachen gestöbert, das mit der scheitelpunktform ist klar, wenn ihr möchtet kann ich ja noch eine Rechnen, habe was falsch verstanden da ich bei wikipedia geschaut habe,also doch lieber in meinen unterlagen nachschlagen

21.08.2005, 15:04

Frooke

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Wenn Du noch die Ausgangsgleichung editierst, stimmts! Freude

Freude

Schau mal

21.08.2005, 15:08

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

das ergebniss stimmt, ja!

und @ mercany: ja gilft für alle a aus R
nehm ich zumindest mal stark an, da ich nur die ax^2+bx+c allgemein umgeformt hab, und mir nochnie nen fehler untergekommen ist.
[//edit: anmerkung: ich mein in bezug auf die anwendung der formel bei aufgaben .. also da is noch nie was falsches rausgekommen ^^. ned das des jemand falsch versteht Hammer

Hammer

weiss ned ob und wie sowas bewiesen werden müsste das es für alle gilt, aber es ist eigentlich trivial offentsichtlich ..

servus

21.08.2005, 15:13

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon erledigt

hier nochmal eine

$\begin{eqnarray*} x^2+35x=7/-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+35x=-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+35x+306,25=299,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+17)^2=299,25/-299,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+17)^2-299,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(-17/-299,25) \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

21.08.2005, 15:18

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

gleich in der ersten zeile: $\begin{eqnarray*} 7 -7 \neq -7 \end{eqnarray*}$ !!!

also bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

//edit: und gewöhn dir an, z.b. in der letzten zeile dann = 0 noch hinzuschreiben !

21.08.2005, 15:21

Frooke

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Ich glaube, mercanys Frage war eher rhetorisch: Schau mal was passiert für a=0 @ Lazarus!

21.08.2005, 15:25

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

"quadratische" funktionen mit a=0 als faktor des quadratischen gliedes sind nicht wirklich quadratische funktionen ... und haben keinen scheitel Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2005, 15:29

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Eben! Deshalb geht es für a=0 nicht!

Also nicht für a aus ganz IR.

Du müsstest schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{S}\bigg(...\left| ...\bigg)\right. \forall a \in \mathbb R \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass mercany das meinte!

21.08.2005, 15:37

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

rein formal ist das richtig. da ist das wegen division durch null notwenig weg zu definieren.

aber durch die tatsache das eine quadratische funktion in normalform gegeben ist als $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c~ a,b,c,x \in \mathbb R ~;~ a \neq 0 \end{eqnarray*}$ fliegt die möglichkeit eh raus ...

denn es lohnt eine scheitelbestimmung bei linearen gleichungen nunmal nicht wirklich Augenzwinkern

Augenzwinkern

verstehst du nun warum ich den fall überhauptnicht in erwägung zu ziehen gewagt hab ?

aber man kanns natürlich der vollständigkeit nochmal hinschreiben, da hast du selbstverständlich recht, falsch ist das nie Augenzwinkern

Augenzwinkern

denke damit is des geklärt und wir können uns wieder dem thema zuwenden ?

@ kira: tut mir leid das wir ein bisschen abgekommen sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

dein ergebniss ist falsch, weisst du wo dein fehler liegt ?

servus

21.08.2005, 15:53

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Ergebnis ist falsch ?

Bin wohl ein wenig aus der Übung, habe ja jetzt auch schon seit Mai kein mathe mehr leider

21.08.2005, 15:57

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Lazarus, Du hast natürlich recht! Ich wollte Dich eigentlich auch nicht auf Unvollständigkeit hinweisen, weil das ja eigentlich evident ist. Es ging mehr darum, dass Du mercanys Frage richtig verstehst...

21.08.2005, 16:06

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

habe nocheinmal weitergeübt, verstehe schon einiges Besser als voher,

die Scheitelpunktform kann ich auch wieder und das VZW Verfahren habe ich mir angesehen im Buch und verstanden.

Nun muss ich noch Polynomdivision lernen und ich würde gerne noch eine Aufgabe mit Hilfe meiner neu erlernten Mitternachtsformel lösen.

Schon mal recht herzlichen Dank für eure Hilfe

Gruß Kira

21.08.2005, 20:35

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

hihi
danke mike, dass du das klar gestellt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

es war in der tat eine eher rhetorische frage, da ich mir schon dachte, dass lazarus die 0 nicht ausgeschlossen hat, da es so trivial scheint. smile

smile

trotzdem: wo wir kira doch hier gerade probieren deutlich zu machen, wie wichtig korrekte ausdrucksweise/schreibweise ist, sollten wir selber das ganze genau korrekt sehen.

nicht wahr Big Laugh

Big Laugh

liebe grüße, jan

22.08.2005, 18:23

Kira 007

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Würde sehr gerne diese Funktion einmal mit Hilfe der Mitternachtsformel lösen

$\begin{eqnarray*} f=x^2+5x+7 \end{eqnarray*}$

Die Mitternachtsformel und die ABC Formel sind doch das gleiche oder?

Teilt man das b vorne bei der Mitternachtsformel auch durch 2 wie bei der p und q

$\begin{eqnarray*} -5 +-\sqrt{5^2-4*1*7/2*1} \end{eqnarray*}$

dann komme ich nämlich genau auf das richtige Ergebniss

PS. Wie schreibe ich den mit latex das zusammenhängende Plus und minus Zeichen ?

Gruß Kira

22.08.2005, 19:47

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

@kira

1.die pq formel ist für genormte quadratische gleichung( d.h. a =1)

die ABC formel kannst du sofort anwenden ohne die gleichung zu normieren.

hierist a schon 1, also kannst du auch pq formel anwenden!

2. der ganze ausdruck wird durch (2a) geteilt, so wie es da steht ist es falsch!

und 3. $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ geht so \pm

23.08.2005, 13:56

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei welcher gleichung könnte ich den z.B die ABC Formel anwenden?

$\begin{eqnarray*} 3x^2+30x+20 \end{eqnarray*}$ hier z.B ?

Gruß Kira

23.08.2005, 14:02

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

1.die pq formel ist für genormte quadratische gleichung( d.h. a =1)

Hat koch doch oben geschrieben.

Hier ist a =3 - demetsprechend hast du 2 Möglichkeiten:

- Du teilst die Gleichung (bei dir ist es übrigens wieder mal keine!) durch 3, anschliessend pq-Formel

- Du löst die Gleichung direkt durch die ABC-Formel (Mitternachtsformel)

Gruß, mercany

23.08.2005, 14:07

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

die abc-formel kannst du auch, genauso wie die pq-formel, bei quadratischen gleichungen anwenden.
diese müssen dann folgendende form haben:

$\begin{eqnarray*} a*x^2+b*x+c=0 \end{eqnarray*}$

als lösung erhälst du dann:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b+/-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

die pq-formel ist eigentlich nur eine besondere abc-formel. bie ihr ist a=1 und somit sieht das ganze so aus, wenn man statt b p und statt c q schreibt:

$\begin{eqnarray*} x^2+p*x+q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}\frac{-p}{2}+/-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \end{eqnarray*}$

bei deinem beispie könntest du jetzt also die abc-formel anwenden oder du müsstest durch 3 teilen um pq-formel zu nutzen...

23.08.2005, 14:51

Kira 007

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Habe die Formel verstanden

hier mal meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-30+/-\sqrt{30^2-4*3*20}}{2*3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2=-5+/-\sqrt{660/6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1= -0,72 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=-9,28 \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

23.08.2005, 15:11

mercany

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Passt!

Freude

Das sind allerdings die aufgerundeten Ergebnisse... nicht vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.08.2005, 15:23

Kira 007

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ja klar die Ergenisse sind auf zwei stellen gerundet.

So das lässte was mir noch fehlt ist die Polynomdivision.

Wenn ich das nun alles kann sollte es auch mit der Extrema klappen, wobei man ja zur Not immer auf das Newstische Näherungsverfahren zurückgreifen kann.

Gruß Kira

23.08.2005, 15:30

mercany

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Ja, aber eigentlich greifst du auf ein Interationsverfahren erst zurück, wenn das mit der PD nicht klappt.

Ausschliesslich Newton statt PD zu verwenden halte ich für etwas "ungewöhnlich" und "umständlich". Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.08.2005, 15:58

riwe

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kira liebt newton, und wendet dieses verfahren manchmal auch auf lineare gleichungen an, z.b hier
wahrhaft mathesüchtig!
werner

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