Kurvendisskusion - Seite 4

24.08.2005, 17:39

Kira 007

nein muss nicht unbedingt immer Newten sein deshalb möchte ich ja gerne die Polinomdivision erlernen. was für ein Integrationsverfahren den ?

Wäre super wen ihr mir die Zeigen könntet

Gruß Kira

24.08.2005, 18:26

mercany

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Ja, dann könntest du zum Beispiel mal hier schauen, da wirds ganz gut erläutert.

Und, es heißt nicht Integrationsverfahren sondern "Iterationsverfahren". Augenzwinkern

Gruß, mercany

25.08.2005, 14:46

Kira 007

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Vielen lieben Dank mercany für die super Empfehlung der Seite mit der Polynomdivision, sie ist echt spitze.

Habe das Verfahren soweit verstanden, aber wir können es gerne auch nocheinmal anhand einer Aufgabe rechnen.

Schlag doch mal eine vor, dann würde ich die mal lösen

Gruß Kira

25.08.2005, 17:49

mercany

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hmm...

dann nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^3 - 12x^2 - 9x + 6 \end{eqnarray*}$

25.08.2005, 18:48

Kira 007

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Ok dann fange ich mal an

$\begin{eqnarray*} (3x^3-12x^2-9x+6:x+3=3x^2-21x+54 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(-3x^3+9x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -21x^2-9x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(21x^2-63x)+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 54x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(54x+162) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -156 \end{eqnarray*}$

so wie muss ich nuun weiterverfahren damit ich die Extrema berechnen kann ?

Gruß Kira

25.08.2005, 19:31

derkoch

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wie kommst du denn auf die erste nullstelle kira?
das kann ich nicht nach vollziehen.

25.08.2005, 20:41

mercany

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@Kira

$\begin{eqnarray*} 3\cdot(-3)^3 - 12\cdot(-3)^2 - 9\cdot(-3) + 6 = -156 \end{eqnarray*}$

Und bekanntlicherweise ist $\begin{eqnarray*} -156 \neq 0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Gruß, mercany

26.08.2005, 15:08

Kira 007

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Was ist an meiner Aufgabe den genau falsch ?

Gruß Kira

26.08.2005, 15:12

mercany

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Du hast als Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 = -3 \end{eqnarray*}$ gewählt - das ist falsch!

\\edit: Latex eingefügt!

26.08.2005, 15:13

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
Was ist an meiner Aufgabe den genau falsch ?

Gruß Kira

ich würde nur gerne wissen wie du festgestellt hast, daß du $\begin{eqnarray*} (....) : (x+3) =... \end{eqnarray*}$ teilen mußt?

26.08.2005, 16:59

Kira 007

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ach so na das stand in der Aufgabe war so vorgeben, würde aber schon gerne wissen voran man es erkennt durch was man es teilen muss wenn es mal nicht vorgegeben ist.

Die Aufgabe ist von der Seite die mir mercany empfoheln hat, und dort steht halt das man es durch $\begin{eqnarray*} x^3+3 \end{eqnarray*}$ teilen soll.

Gruß Kira

26.08.2005, 17:21

mercany

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Also Sinn un Zweck der PD ist ist ja, ein Funktion 3. Grades um einen Grad zu veringern, so das du dann eine quadratische Funktion hast, welche du mittels PQ-Formel bzw. Mitternachtsformel lösen kannst.

Du weißt, dass sich jede Funktion vom Grad n in n-viele Linearfaktoren zerlegen lässt.

Du musst nun zu allererst eine NST erraten.... diese liefert dir dann automatisch ja einen Linerfaktor.

Wenn du durch diesen nun teilst, veringert sich ja automatisch die Funktion um n-1.

-----------------------------------------

Kommen wir zu der Funktion, die ich dir gestellt habe.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^3 - 12x^2 - 9x + 6 \end{eqnarray*}$

Nach kurzem ausprobieren finden wir heraus, dass die Gleichung für $\begin{eqnarray*} x_0 = -1 \end{eqnarray*}$ Null wird.

-1 ist also unser NST mit der wir die PD ausführen.

Wir teilen nun also unsere Funktionsgleichung durch den Linerfaktor $\begin{eqnarray*} (x + 1) \end{eqnarray*}$ .

Wir haben nun also:

$\begin{eqnarray*} 3x^3 - 12x^2 - 9x + 6 : (x + 1) = .... \end{eqnarray*}$

So, jetzt machst du weiter!
Soweit klar?

Gruß, mercany

26.08.2005, 18:28

Kira 007

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Soweit verstanden, nur etwas umständlich bei der Funktion dritten Grades. (da hab ich ja keine probleme mit der Extrema)

ab Funktionen mit dem Grad 4 was mache ich dann am besten ?

$\begin{eqnarray*} 3x^3-12x^2-9x+6:x+1=3x^2-15x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x^3+3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -15x^2-15x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6+x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe würde ich ja normalerweise so vorgehen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=15x^2-24x-9 \end{eqnarray*}$

dann mit p und q berechnen und die Extrema bestimmen, interessiere mich daher für Funktion mit einem höheren Grad als 3. smile

Gruß Kira

26.08.2005, 18:33

derkoch

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^4+x^3-9x^2+11-4 \end{eqnarray*}$

viel Spaß Kira! Augenzwinkern

kannst ja ne komplette diskusion machen wenn du willst!

26.08.2005, 19:03

Kira 007

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Geht das mit Hilfe der Polynomdivision ?

mein Problem ist nämlich jetzt der Grad 4, aber genau das möchte ich ja lernen

Gruß Kira

26.08.2005, 19:04

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
Geht das mit Hilfe der Polynomdivision ?

jep!
extra nur für Dich Kira!! Big Laugh

polynomdivision ist immer das gleiche schema! nullstellen "raten, suchen" und der rest ist formsache.

Edit:
es kommen nur ganzzahlige schöne werte raus!

26.08.2005, 19:18

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} x^4+x^3-9x^2+11x-4:x-1=x^3+2x^2-7x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x^4-x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^3-9x^2+11x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x^3-2x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -7x^2+11x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -7x^2+7x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

und nun ? muss ich nun weitermachen mit der Polynomdivision, das würde ja extrem lange dauern bei einer Funktion 6 oder 7 Grades gibt es eine alternative, oder muss ich nicht weiterrechnen

Gruß Kira

26.08.2005, 19:21

derkoch

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mußt leider bis zu ende führen( bei dieser zumindest!) bei anderen kann es sein, daß du was ausklammern oder substituieren kannst, aber wenn du alle nullstellen finden willst mußt du da durch!

26.08.2005, 19:33

Kira 007

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nun dann schenke ich mir das nun mal da ich die Polynomdivision nun verstanden habe und p und q bzw. Mitternachtsformel auch anwenden kann.

aber wie löse ich dann so eine Funktion am besten

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^6+5x-4 \end{eqnarray*}$

außer Polynomdivision da wäre ich glaube ich in einer Klausur morgen noch nicht fe Big Laugh

rtig

PS: kann eine Funktion 5 Grades nicht genau 4 Extremstellen besitzen ?

Es muss doch noch eine andere möglichkeit geben oder nicht ?

Gruß Kira

26.08.2005, 22:08

mercany

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1. Ich seh da keine Funktion, da steht nur ein Term!!!

2. Das löst du sicherlich nicht PD, ausser du willst mir verraten, wie du die zwei nicht ganzzahligen "reelen" NST erraten möchtest. Augenzwinkern

Hier müsstest du auf ein Interationsverfahren zurückgreifen... kannst du ja jetzt. smile

3. Ein Funktion vom Grad n kann maximal n-1 Extrema und n-2 Wendestellen haben!

Gruß, mercany

\\edit: ein par peinliche Rechtschreibfehler entfernt smile

27.08.2005, 08:51

Kira 007

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Also man kann dann für die Extrema entweder, Polynomdivision oder halt einer der Faktoren der Funktion muss null sein oder halt das Newtische Näherungsverfahren verwenden?

Habe meinen letzsten beitrag verbessert, da ich statt der Funktion wieder nur einen Term geschreiben habe.

Aber zurück zur Aufgabe, Polynomdivision ist hier in der Tat etwas aufwendig, wie wäre es mit Newton, oder wie sonst ? smile

Gruß Kira

27.08.2005, 08:56

Egal

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Ich denke in diesem Fall ist ein nummerisches Verfahren, z.B. Newton, auf jedenfall angebracht.

27.08.2005, 08:59

Kira 007

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Hy super Danke dann werde ich die Aufgabe mit Hilfe von Newton lösen.

Mercany was meist Du mit reelen Nullstellen ?

Gruß Kira

27.08.2005, 09:08

Frooke

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@Kira007:
Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \\ x \mapsto x^2+1 \end{eqnarray*}$
hat keine reellen Nullstellen, denn Du findest keine Zahl $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} a^2+1=0 \end{eqnarray*}$

Hingegen ist

$\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
Und das ist nur im Bereich der komplexen Zahlen definiert.

Es ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}:=\mathrm{i} \end{eqnarray*}$

(Dabei ist i die imaginäre Einheit.)

27.08.2005, 09:15

Kira 007

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Die imaginäre Einheit was bedeutet das

Eine Wurzell aus einer negativen Zahl zu ziehen ist doch nicht möglich ?

Gruß Kira

27.08.2005, 09:19

Frooke

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Genau darum hat man i als die Wurzel aus -1 definiert. Das, was Du hier als nicht möglich bezeichnest ist im Reellen nicht möglich. Im komplexen Raum aber schon... smile

Aber je nach Jahrgangsstufe dürfte das für Dich ohnehin noch nicht von Interesse sein Augenzwinkern

27.08.2005, 09:34

Kira 007

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Das so etwas nicht möglich ist ist mir natürlich klar aber waran erkennst Du bereit bei der Stammfunktion das es nicht möglich ist

Was die Jahrjangsstufe betrifft, ich habe diesen Sommer mein Fach Abi (Wirtschaft) gemacht und fange nun im Frühjahr an BWL zu studieren

Gruß Kira

27.08.2005, 10:24

Frooke

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Ach so: Dann wird es Deine Jahrgangsstufe schon betreffen Augenzwinkern

...

Du meinst hier wohl «Usrprungsfunktion» und nicht Stammfunktion, denn das ist etwas anderes. Aber direkt bei der Ursprungsfunktion sieht man das nur selten. Einfach beim Nullsetzen stellt sich heraus, ob es eben nun relle Nullstellen gibt oder nicht.

27.08.2005, 10:55

Kira 007

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Ah so und das sieht dann wie folgt aus ?

Gruß Kira

27.08.2005, 11:01

Frooke

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Eine Funktion sei gegeben durch
$\begin{eqnarray*} f(x):=\mathrm{e}^x+1 \end{eqnarray*}$

Nun suchst Du die Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} f(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^x+1\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^x\stackrel{!}{=}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\stackrel{!}{=}\ln(-1) \end{eqnarray*}$

...ist im reellen nicht definiert! Es gibt aber auch andere Fälle:

$\begin{eqnarray*} g(x):=\frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$
Bei Brüchen muss der Zähler 0 sein für eine Nullstelle, also x=0. Stimmt aber nicht! Denn 0 gehört nicht zum Definitionsbereich -> also keine Nullstelle, weder komplex noch reell!

27.08.2005, 11:06

Kira 007

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Stammfunktion ist glaube ich bei der Intergralrechnung die richtige Bezeichnun.

Habe da von nämlich noch nicht viel Ahnung deshalb verstehe ich es noch nicht ganz

Was beudetet den das e in Deiner Erklärung ln ist der Logarthums?

Gruß Kira

27.08.2005, 11:14

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
Stammfunktion ist glaube ich bei der Intergralrechnung die richtige Bezeichnun.

Habe da von nämlich noch nicht viel Ahnung deshalb verstehe ich es noch nicht ganz

Was beudetet den das e in Deiner Erklärung ln ist der Logarthums?

Gruß Kira

e ist die euler'sche Zahl

und ln ist der natürliche logarithmus( basis ist die euler'sche zahl)

27.08.2005, 11:14

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}\approx 2.71.... \end{eqnarray*}$ ist die Euler'sche Zahl. $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ der natürliche Logarithmus.

Und eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder die Ursprungsfunktion ergibt. Und man braucht sie für Integralrechnung Freude

.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)~\mathrm{d}x = \bigg[F(x)\bigg]_a^b=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 11:22

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dort liegt auch schon mein Problem bei der Eulischen Zahl habe dort schwar schon viel von gehört, habe aber noch nie was damit zu tun gehabt, bzw. habs noch nicht gelernt.

PS:Auf meinem Weg die Extrema zu berechnen, kapiere ich erst mal wie wenig wir in der Schule hatten. Keine Eulische Zahl keine Polynomdivision keine Mitternachtsformel und das ein produkt gleich Null wird wenn einer seiner faktoren Null wird wusste ich auch nicht.

Polynomdivison und die Mitternachtsformel und natürlich das Newtische Näherungsverfahren habe ich aber schon dank diesem spitzen Board gelernt.

Aber für funktionen mit im höhchsten Fall einem kubischen Glied, wie in der Schule braucht man sowas ja nicht

Nun ist glaube ich die Eulische Zahl an der Reihe

Gruß Kira

27.08.2005, 11:28

Frooke

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Benutze doch mal die Boardsuche! Da wirst Du 100% fündig!

Hier z.B. gibt es einen ziemlich ausführlichen Beitrag mit einem sehr empfehlenswerten Posting von Leopold!

Ausserdem heisst das "Euler'sche Zahl" Augenzwinkern

27.08.2005, 11:42

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Brauche ich für die Euler'sche Zahl

den lim (ist das nicht ein Grenzwert) den dann muss ich den erst einmal lernen.

Oder ist es sinnvoller Ketten und Produktregel zu lernen ?

Ich sehe schon ich hab echt ne Menge zu tun.

Aber vielen lieben Dank für Deine Hilfe

Gruß Kira

27.08.2005, 11:48

Frooke

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Ja, brauchst Du unbedingt! Aber schau doch mal bei Wikipedia nach! Dort stehen ziemlich viele Dinge Augenzwinkern

...

Du kannst aber, ohne ins Detail zu gehen, die Euler'sche Zahl auch einfach als die Exponentialbasis auffassen, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 11:50

Kira 007

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Schau mich mal bei Wikipedia um habe aber auch noch eine neues Mathebuch gekauft dort steht auch recht viel drin

Gruß Kira

/edit: Ok was schaue ich mir den nun am besten zu erst an.

Kannst Du mir eine kleine Hilfestellung geben zum lim
bei Wiki sieht alles sehr kompliziert aus geschockt

oder ist es so kompliziert wie es aus sieht ?

bitte keine doppelposts... danke! babelfish

EDIT:
hab erlich gesagt keinen Plan wie ich an die Limes Berechnung heran gehen soll.

Für Vorschläge und Hilfen danke schon mal im Vorraus

Gruß Kira Augenzwinkern

Tripelpost zusammengefügt. Bitte benutze die EDIT-Funktion (Frooke)

27.08.2005, 18:20

Frooke

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Also es ist so: Limiten braucht man zur Untersuchung von Stellen, die z.B. nicht definiert sind, oder um das Verhalten von Funktionen an Definitionsrändern oder + und - unendlich zu untersuchen.

Ich geb mal ein Einstiegsbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$
Nun ist f in 0 nicht definiert. Um aber zu untersuchen, wie sich f um Null herum (unendlich nahe) verhält braucht man Limiten: Man schreibt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x}=\lim_{x \to 0} x = 0 \end{eqnarray*}$

LG

28.08.2005, 07:38

Kira 007

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Ok warum und wuzu Limiten verwendet werden habe ich verstanden .

Die Stelle Null die Untersucht werden soll hast Du Dir denke ich mal ausgedacht für die Aufgabe. Und die Schreibweise muss ich mir dann mal merken .

Soweit also Ok

Gruß Kira

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