[S]Beispielaufgaben zur Integration und Differentiation

10.02.2008, 12:54

V0dK4

[S]Beispielaufgaben zur Integration und Differentiation

Also wie der Tiel schon sagt suche ich Beispielaufgaben.
Dabei habe ich bereits google und die SuFu dieses Boards hier genutzt ,bin aber nur auf Einzelbeispiele bzw. Sachen gestoßen ,die ich so gar nicht gebrauchen kann^^
Es wäre natürlich super ,wenn Lösungen dabei stehen würden ,da ich bei manchen Sachen noch net ganz so sicher bin

vom Schwierigkeitsgrad her sollten das eher solche Sachen sein :
Ableitung:
- tan(2x^3+4)
- (x+1)^(x+1)
- x^2*ln(2x^3+4)
- arctan((1+x)/(1-x))

Integral:
- 2x/(x^2+4x+7) dx
- (x^2-2)/ (x^2+2) dx

Bei den Integralen wären auch Bsp. mit Polynomdivsion gut und bei der Ableitung können auch Ansätze der partiellen Ableitung dabei sein ,sprich Aufgaben von dem Schwierigkeitsgrad:
f(x, y, z) = e^(xyz) * ln(cos x + e^z)

Es wäre wirklich sehr nett ,wenn mir jemand da ein paar Seiten nennen könnte smile

10.02.2008, 16:45

system-agent

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Wie wärs wenn du hier doch gleich mal die von dir gegebenen Beispiele rechnest?

10.02.2008, 18:56

V0dK4

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okay ,dann fang ich mal an:

tan(2x^3+4) u=2x^3+4 ,u'=6x^2

$\begin{eqnarray*} tan(u)=\frac{sin(u)}{cos(u)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan'(u)=\frac{cos(u)*u' * cos(u)-(-sin(u)*u' *sin(u))}{cos^2(u)} \end{eqnarray*}$

da cos²u + sin²u = 1 kommt da am Ende $\begin{eqnarray*} \frac{6x^2}{cos^2(u)} \end{eqnarray*}$ heraus.

(x+1)^(x+1) kann man umformen in e^[(x+1)(ln(x+1))] ..wenn ich dann die e-Funktion ableite komme ich auf diesen Term: (ln(x+1)+1)*e^[(x+1)(ln(x+1))].
Hierbei bin ich mir aber am allerwenigsten sicher ob das stimmt ,denn Ableitungen mit der e-Funkion sind der Feind^^

x^2*ln(2x^3+4)
Abl.: 2x*ln(2x^3+4)+((1/2x^3+4)*6x^2)*x^2

arctan ((1+x)/(1-x))
Die Ableitung vom arctan (x) ist 1/(x^2+1)...bei meiner geforderten Ableitung ersetzt man das x durch (1+x/1-x) und rechnet das noch mal die Ableitung des Bruches .Gesamt habe ich dann raus :
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac{1+x}{1-x})^2+1}*\frac{2}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

10.02.2008, 19:48

system-agent

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Deine erste Ableitung ist korrekt Freude

Nur vergiss nicht in einer Klausur oder so deine Substitutionen wie das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ wieder rückgängig zumachen smile

Das zweite stimmt leider nicht, aber du hast die grösste Hürde mit dem Umschrieb geschafft smile

Also wir haben
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{(x+1)\cdot\ln(x+1)} \end{eqnarray*}$

Der erste Teil stimmt, die e-Funktion bleibt erhalten, aber du musst nun nachdifferenzieren, das heisst also mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x+1)\cdot\ln(x+1) \end{eqnarray*}$ mutliplizieren. Nutze dazu die Produktregel.
Denke daran dass $\begin{eqnarray*} [\ln(x)]'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Auch das dritte ist falsch. Beachte die Ableitung des Logarithmus.

Edit:
Das vierte ist richtig Freude

11.02.2008, 00:22

V0dK4

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hmmm ,okay...

das die Ableitung von ln(x) = 1/x ist ,das war mir bewusst nur dachte ich ,wenn da z.B. ln (x^2) steht ,ist das 1/x^2 * 2x .
Also im Grunde wie die Produktregel mit innere mal äussere Ableitung.

Wie würde denn das Ergebnis zu meiner 3.ten Aufgab aussehen?

11.02.2008, 09:10

system-agent

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Zitat:

Original von V0dK4

das die Ableitung von ln(x) = 1/x ist ,das war mir bewusst nur dachte ich ,wenn da z.B. ln (x^2) steht ,ist das 1/x^2 * 2x .

Das ist ja auch alles richtig smile

OK, machen wir mal die dritte:
Wir haben $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cdot\ln(2x^3+4) \end{eqnarray*}$
Wende die Produktregel an:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=[x^2]'\cdot\ln(2x^3+4)+x^2\cdot[\ln(2x^3+4)]' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2x\ln(2x^3+4)+x^2\cdot\frac{1}{2x^3+4}\cdot6x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2x\ln(2x^3+4)+\frac{6x^4}{2x^3+4} \end{eqnarray*}$

Klarer?

Nun bist du dran mit der zweiten !

11.02.2008, 17:41

V0dK4

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okay,danke für deine Mühe smile

aber genau das selbe hatte ich auch bei der 3.ten Aufgabe heraus ,wenn mein mein gewusel noch zusammengefasst hätte ...ich werd mir mal angewöhnen mehr mit Latex zu schreiben und das net so hinzuschmieren ^^
und bei der e-Funktion komme ich auch wieder auf das selbe Ergebnis ,aber ich werde das jetzt mal anders schreiben :

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+1)^{x+1} = e^{(x+1)*ln(x+1)} \end{eqnarray*}$

So die Ableitung des Exponenten macht man mit der Produktregel und müsste dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 1*ln(x+1)+\frac{1}{x+1}*(x+1) = ln(x+1) + 1 \end{eqnarray*}$

Ergo:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(ln(x+1)+1)*e^{(x+1)*ln(x+1)} = (ln(x+1)+1)*(x+1)^{x+1} \end{eqnarray*}$

11.02.2008, 17:54

system-agent

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Naja, ich kann halt nur das sehen was du hier reinschreibst smile

Das mit deiner Idee mit LaTeX zu arbeiten ist hervorragend, es liest sich weitaus angenehmer !

Und deine Ableitung ist perfekt ! Freude

Wenn du mal viel Kettenregel willst dann leite doch mal folgende Funktion ab:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot\exp\left(\cos(\sin(x^{x\cdot\tan(x)}\right) \end{eqnarray*}$

(Anmerkung: Dabei ist $\begin{eqnarray*} \exp(x)=e^x \end{eqnarray*}$ )

Rein interessehalber mal ein Plot davon smile

11.02.2008, 18:27

V0dK4

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Ja ,dem stimme ich zu ,dass Latex angenehmer zu lesen ist ,ich war nur sehr sehr faul damit zu arbeiten :-P...

und ja ,an die Ableitung traue ich mich gerne mal dran ,bin nur mom. bissl am Stress ,da ich am Mittwoch meine Matheklausur schreibe und ich noch bissl Partialbruchzerlegung und komplexe Zahlen anschauen muss ...
Ableitungen gehen meiner Meinung ja soweit und Integrale passt auch ,wobei ich bei denen noch am Feintunig arbeite ^^

Wenn du noch ein paar Funktionen zum Ableiten auf Lager hast ,würd ich mich gerne an denen Versuchen ,aber bitte nichts sooooo verschachteltes*g

11.02.2008, 18:32

system-agent

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Na bei den verschachtelten geht der Spass erst los Big Laugh

Ich denke du suchst Aufgaben & Lösungen, dann nutze mal Google oder so, da findet sich sicher vieles.

Ansonsten kannst dir ja selbst Funktionen ausdenken und die Ableitung bestimmen. Falls dir nicht sicher bist kannst du das hier posten und wir schauen nach.

11.02.2008, 18:37

V0dK4

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Es spricht ja auch nichts gegen ein bisschen knobeln ,rätseln und ausprobieren *ggg...ich sag ja ,ich komme die Tage bestimmt auf deine Funktion zurück und versuch mein Glück dabei^^...

ja und wegen weiterer Ableitungen etc. werd ich dann mal schauen smile

...

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