Symmetrieverhalten bestimmen

10.02.2008, 14:04

jörgen

Symmetrieverhalten bestimmen

hi, wie kann man den das symmetrieverhalten einer funktion bestimmen?

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$

wie muss man das amchen, habe das mit dem f(x)=-f(x) und f(x) =f(-x) nie so richtig kapiert

10.02.2008, 14:10

Bjoern1982

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f(-x) bildest du, indem du für alle x das -x einsetzt und die Exponenten beachtest (Vorzeichen).

Würde f(x)=f(-x) gelten dann wäre der Graph dieser Funktion symmetrisch zur y-Achse - links und rechts vom Ursprung hat der Graph also dieselben y-Werte ---> Symmetrie

Klappst du die linke Seite nach unten, bildest also - f(-x) so würde es für Punkttsymmetrie zum Usrprung sprechen falls damit wieder die Ausgangsfunktion f(x) rauskommen sollte.

10.02.2008, 14:16

NatürlicheZahl

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Schau mal:

Dort siehst du f(2)=f(-2), denn an beiden Stellen hast du den Funktionswert 20.

Hier gilt -f(-2)=f(2), denn einmal bekommst du als Funktionswert 10 und einmal -10 smile

Hoffe ich konnte es dir ein wenig klarer machen Augenzwinkern

10.02.2008, 14:47

jörgen

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen
ok, wenn ich das jetzt mal für dieses beispiel mache:

f(x) = -f(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -(\frac{x³}{x²+1}) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-x³}{-x²-1}) \end{eqnarray*}$

also keine symmetrie?!

f(x) = f(-x)
$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-x³}{-x²+1}) \end{eqnarray*}$

ebenfalls keine symmetrie

is das korrekt? die funktion ist unsymetrisch?!

10.02.2008, 14:55

NatürlicheZahl

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Das ist falsch!

Schau dir mal dein erstes Kriterium an und überlege was passiert, wenn du Werte für x einsetzt!

Die Funktion ist symmetrisch!

12.02.2008, 10:41

jörgen

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wenn sich das vorzeichen des wertes ändert, dann spiegelt sich im grunde der graph. was positiv war wird negativ und umgekehrt. also hab ich eine symmetrie?! das heist für f(x) = -f(x) ist die funktion achsensymmetrisch ?!

?

12.02.2008, 10:57

Airblader

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f(x) = -f(x) ist Unsinn. Du kannst sofort durch f(x) teilen (wenn f(x) nicht Null ist) und erhälst 1=-1 -> wohl eher nicht Augenzwinkern

So wird ein Schuh draus:
Ist eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, und sei f(x) der Funktionswert an einer Stelle x, so muss der selbe Funktionswert bei -x auftreten, also f(x) = f(-x).

Punktsymmetrie zum Ursprung ist f(x) = -f(-x).

Verdeutliche es dir mal an einem Graphen. Suche dir eine Stelle x raus und prüf es nach.

air

15.02.2008, 09:30

jörgen

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen
ok, um das nochmal an der urspungsgleichung zu probiere

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = \frac{-x³}{-x²+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3³}{3²+1} = \frac{-3³}{-3²+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{9+1} = \frac{-27}{9+1} \end{eqnarray*}$
(darf man die einsetzprobe mit zahlenwerten machen?)

es liegt also ein Achsensymmetrie vor, weil sich nur das vorzeichen ändert, aber der wert der selbe bleibt

f(x) = -f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = -\frac{-x³}{-x²+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3³}{3²+1} = -\frac{-3³}{-3²+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{9+1} = -\frac{-27}{9+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.7= 2.7 \end{eqnarray*}$

ist also punktsymetrisch, weil funktionswerte 1:1 übereinstimmen ?!

15.02.2008, 09:36

klarsoweit

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen

Zitat:

Original von jörgen
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = \frac{-x³}{-x²+1} \end{eqnarray*}$

Da hast du das -x nicht richtig in die Funktionsvorschrift eingesetzt.

Im übrigen ist die Nullfunktion die einzige Funktion, die gleichzeitig achsensymmetrisch und punktsymmetrsch ist. smile

15.02.2008, 10:29

jörgen

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von jörgen
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = \frac{-x³}{-x²+1} \end{eqnarray*}$

Da hast du das -x nicht richtig in die Funktionsvorschrift eingesetzt.

was meinst du? ich hab vor die x doch ein minus geschrieben....

15.02.2008, 10:57

WebFritzi

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Man sollte auch Klammern setzen...

Zitat:

Original von Airblader
f(x) = -f(x) ist Unsinn. Du kannst sofort durch f(x) teilen (wenn f(x) nicht Null ist) und erhälst 1=-1 -> wohl eher nicht Augenzwinkern

Ne, anders:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -f(x) \Longleftrightarrow f(x) + f(x) = 0 \Longleftrightarrow 2f(x) = 0 \Longleftrightarrow f(x) = 0. \end{eqnarray*}$

15.02.2008, 11:10

klarsoweit

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen

Zitat:

Original von jörgen
was meinst du? ich hab vor die x doch ein minus geschrieben....

Nein hast du nicht. Du hast bei x² bzw. x³ einfach ein Minus vorgesetzt, aber nicht vor das x. Bei Potenzen bindet die Potenz stärker als das Vorzeichen. Wenn du mal für x² x*x schreibst, dann solltest du merken, was los ist.

15.02.2008, 14:48

jörgen

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen
[quote]Original von jörgen
ok, um das nochmal an der urspungsgleichung zu probiere

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = \frac{(-x)³}{(-x)²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = -f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = -\frac{(-x)³}{(-x)²+1} \end{eqnarray*}$

du meinst so, oder? das minuszeichen muss mit potenziert werden, sonst hab ich bei graden potenzen ein vorzeichen fehler?!

15.02.2008, 15:11

klarsoweit

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen
Genau. Und welche der beiden Gleichungen gilt nun allgemein für alle x?

19.02.2008, 12:40

jörgen

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RE: Symmetrieverhalten bestimmen
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x³}{x²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = \frac{(-x)³}{(-x)²+1} \end{eqnarray*}$

f(x) = -f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{x³}{x²+1} = -\frac{(-x)³}{(-x)²+1} \end{eqnarray*}$

das müsste dann

f(x) = -f(-x)

sein, weil bei f(x) = f(-x) durch die potenz im nenner stehst das vorzeichen gekippt wird, wenn x negativ ist und dadurch nicht für alle x gilt ?!

19.02.2008, 12:52

jona89

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Die Notation ist zwar etwas schwammig und die Argumentation nicht treffend genug, du meinst aber das richtige und hast so die Punktsymmetrie gezeigt.

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