Binomialverteilung??

14.08.2005, 18:33

Matatron

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Binomialverteilung??

HI ich brauche ma dringend eure Hilfe! Ich habe folgende Aufgabe: Ein drittel aller Ehepaare sei kinderlos. Stellt man zufällig eine Gruppe von 12o Ehepaaren zusmmen so beschreib X die Anzahl der darunter befindlichen kinderlosen Ehepaare.
a) Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich nicht merh als 48 kinderlose Ehepaare unter den ausgewählten 120 Ehepaaren befinden?
c) Berechnen sie P(30<X kleiner gleich 50).
Also ich hab mir gedacht das is ne Binomialverteilung der Länge n=120 mit p=1/3. Zu a) wäre also E(X)=40 und Var(x)=80/3.
Wie geht das nu aber mit aufgabe b und c, denn man sooll doch wohl nicht so viele Gleichungen aufstellen da gibt es doch noch nen anderen Weg aber wie?

14.08.2005, 18:40

Leopold

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Bei b) etwa hast du $\begin{eqnarray*} P(X \leq 48) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

14.08.2005, 18:45

Matatron

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ja das ist mir schon klar aber wie funktioniert das jetzt? Ich kann doch nicht über 50 Gleichungen aufstellen vonwegen: P(k)=n über k mal .....
Welche andere Möglichkeit gibt es da?

14.08.2005, 18:56

Leopold

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Auch das geht z.B. mit EXCEL. Der Parameter WAHR bedeutet, daß alle Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,\ldots,48 \end{eqnarray*}$ aufsummiert werden. Würde dort FALSCH stehen, so würde nur $\begin{eqnarray*} P(X=48) \end{eqnarray*}$ berechnet.

14.08.2005, 18:59

Matatron

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und ohne Excel und ohne aufsummieren geth das nicht?
Uner Leherer würde uns keine eine Aufgabe aufgeben wo wir 48 Wahrscheinlichkeiten ausrechnen müssen aufgeben. Da muss es doch noch eine andere Möglichkeit gebe?

14.08.2005, 19:07

Leopold

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Dann gibt's auch noch Tafelwerke, wo für häufig vorkommende $\begin{eqnarray*} n,p,k \end{eqnarray*}$ die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten abgedruckt sind. Ist wohl etwas vorsintflutlich ...

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14.08.2005, 19:12

Matatron

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LOL! Kann ja keiner ahnen das sich da einer in meheren Matheforen gleichzeitig rumtreibt ;-) *Respekt*
Also ich glaube ich habs inzwischen rausgefunden. Alos wäre das jetzt für aufgabe b eine Wahrscheinlichkeit von 0,6179? Kannste mir sagen ob das richtig is?

14.08.2005, 19:14

Leopold

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Siehe das angehängte Bild aus meinem vorvorigen Beitrag.

14.08.2005, 19:17

Matatron

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son scheiß wieso datt denn?

14.08.2005, 19:18

Leopold

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Zitat:

Original von Matatron
son scheiß wieso datt denn?

???

14.08.2005, 19:21

Matatron

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ja ich weiß nicht wie ich das jetzt aufm papier ausrechne!

14.08.2005, 19:27

Leopold

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Du kannst nur alle aufsummieren. Anders geht das nicht.
Aber vielleicht sollst du ja auch gar nicht den exakten Wert bestimmen, sondern die Normalverteilung als Approximation verwenden. Bei einer $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ -verteilten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} P(X \leq k) \end{eqnarray*}$ nämlich durch

$\begin{eqnarray*} P(X \leq k) \approx \Phi \left( \frac{k - \mu + 0{,}5}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

approximiert werden ( $\begin{eqnarray*} \mu = np \, , \ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$ ).

14.08.2005, 19:32

Mathespezialschüler

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Als Anmerkung: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist nicht binomialverteilt, sondern hypergeometrisch verteilt! Die Binomialverteilung ist zwar für große $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine Näherung für die hypergeometrische Verteilung, aber exakt ist das nicht. $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist hier die Anzahl aller Ehepaare. Diese ist natürlich sehr groß, sodass die Näherung sehr gut sein dürfte. Eine Diskussion darüber gab es hier bereits, bei einer Aufgabe, die deiner strukturell gleicht.
Wie sich die zweimalige Approximation, die Leopold anspricht, auf das Ergebnis auswirkt, kann ich leider noch nicht beurteilen.

Gruß MSS

14.08.2005, 19:35

Matatron

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ja so habe ich das auch probiert nur ohne diese 0,5 da drinn! und dann bekam ich da: dieses Zeichen keine Ahnung wie man das macht (0,3). wenn ich das mit der 0,5 mache komme ich auf 0,375! dann schaue ich in der tabelle in meinem buch nach und da steht unter 0,3 der wert0,6179 wieso is das dann ned richtig?

14.08.2005, 19:49

AD

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Matatron
son scheiß wieso datt denn?

???

Bezieht sich vielleicht auf die Verwendung von EXCEL zur Lösung von Stochastik-/Statistik-Problemen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.08.2005, 19:50

Matatron

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weiß nicht irgendjemand von euch wie ich das schriflivh ohne 48 mal addieren zu müssen aurechne das was richtige rauskommt?

14.08.2005, 19:56

Leopold

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Wenn du uns verrätst, wie das geht, schlage ich dich für die Fields-Medaille vor.

14.08.2005, 19:58

Mathespezialschüler

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Leopold hat es dir doch gezeigt! Du kannst die hypergeometrische Verteilung deiner Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch die Binomialverteilung approximieren. Dann brauchst du anschließend

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 48) \end{eqnarray*}$

und dafür benutzt du Leopolds Formel mit $\begin{eqnarray*} k=48 \end{eqnarray*}$ , die die Binomialverteilung wiederum durch die Normalverteilung approximiert.

Gruß MSS

14.08.2005, 20:02

AD

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Wenn das hier

Zitat:

Original von Matatron
ja so habe ich das auch probiert nur ohne diese 0,5 da drinn! und dann bekam ich da: dieses Zeichen keine Ahnung wie man das macht (0,3). wenn ich das mit der 0,5 mache komme ich auf 0,375! dann schaue ich in der tabelle in meinem buch nach und da steht unter 0,3 der wert0,6179 wieso is das dann ned richtig?

die Umsetzung von Leopolds Vorschlag ist, dann hast du dich gewaltig verrechnet. Welche Werte für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ hast du denn hier berechnet und dann verwendet? Ich nehme mal an, da liegt der Fehler.

EDIT: Möglicherweise hast du bei $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$ einfach nur das Wurzelziehen vergessen?

14.08.2005, 20:06

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Du kannst die hypergeometrische Verteilung deiner Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch die Binomialverteilung approximieren.

Das ist jetzt wirklich hyperspitzfindig. Schließlich bewegen wir uns in der numerischen Mathematik. Wenn ich das auf die Spitze treibe, dann kann ich ja auch $\begin{eqnarray*} p= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ in Frage stellen. Denn das kam ja wohl auch durch eine statistische Messung heraus, vielleicht:

$\begin{eqnarray*} p = 0,328 \pm 0{,}007 \end{eqnarray*}$

Und das auch nur wieder mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ...

14.08.2005, 20:08

Matatron

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ja das hast du wohl recht verwirrt

verwirrt

aber ich hab das jetzt nochmal mit der wurzel gem8 und dann bekomme ich bei der zwdeiten zahl irgendwas mit 7 raus und soweit reicht die tabelle in unserem buch lange nicht

14.08.2005, 20:12

AD

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Auch falsch. Bevor dieses Ping-Pong-Spiel so weitergeht: Stell doch mal deine Rechnung (also nicht nur das Ergebnis) hier rein, dann finden wir auch den Fehler!

14.08.2005, 20:15

Mathespezialschüler

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@Leopold
Wer ist denn hier sonst größtenteils immer spitzfindig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab mich schon gewundert, dass du nicht in deinem vorigen Beitrag darauf Bezug genommen hast.
Solch eine Messung hat der Lehrer ja sowieso nicht durchgeführt, d.h. das ganze ist doch sowieso fiktiv. Diesmal will ich auch mal spitzfindig sein. Zunge

Zunge

Zusätzlich könnte man ja noch fragen: Was bedeutet "alle Ehepaare"? Alle Deutschlands oder der Welt oder vll doch nur alle der Stadt? Je nachdem kann das Ergebnis natürlich ebenfalls noch variieren. Und überhaupt warst du doch ein Verfechter der Aufgaben in der Stochastik, die nicht eindeutig gestellt sind. Ich kann mich noch erinnern, wie du das in einem Thread sagtest und hinzugefügt hattest, dass eine korrekte Aufgabenstellung schon alles verraten würde.

Gruß MSS

14.08.2005, 20:24

Leopold

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Reiz mich nicht, Bursche! Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.08.2005, 20:27

Matatron

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Ok also ich habe gerechnet:
gesucht: P(x<=48)=My((48-40)/wurzel 80/3)=My(1,55). Dann habe ich in einer Tabelle nachgeschaut und da steht bei 1,55 der Wert 0,9332
jetzt sag bitte nicht das das schon wieder falsch ist!

14.08.2005, 20:35

Mathespezialschüler

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@Matatron
Das ist kein My, sondern ein großes Phi!

@Leopold
Wie du mir, so ich dir! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

14.08.2005, 20:39

Matatron

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ja ok hast recht!
aber isses denn nu richtig oder nicht?

14.08.2005, 20:40

AD

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Das ist schon mal das richtige Ergebnis ohne den Summanden 0.5.

Jetzt rechne das ganze nochmal mit den 0.5, und dann kannst du das mit dem exakten Ergebnis 0.9484 der Binomialverteilungssumme (siehe Leopolds EXCEL-Bild) vergleichen...

14.08.2005, 20:58

Matatron

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dann komme ich auf ein das ergebnis 1,646
für 1,64 steht in meiner tabelle=0,9495 und für 1,65 steht=0.9505 drin.
kommt das nu hin?
und brauch ich debn summanden o,5 nu oder ned? weil in der shcule ham wir den bis jetzt noch ned benutzt

14.08.2005, 21:03

AD

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Wie du hier sehr schön siehst, ist mit den 0.5 der Approximationsfehler kleiner.

14.08.2005, 21:07

Matatron

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ok dann isses also besser mit der 0,5 aber soviel macht sie nun auch ned aus!
dann is das thema wohl jetzt durch.
danke an alle!
lg MAt

14.08.2005, 21:13

AD

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Zitat:

Original von Matatron
aber soviel macht sie nun auch ned aus!

Das sehe ich anders: Statt Fehler $\begin{eqnarray*} -0.0092 \end{eqnarray*}$ (fast 1 %) ist es mit Summand 0.5 ein Fehler von $\begin{eqnarray*} +0.0016 \end{eqnarray*}$ , also absolut gesehen nur rund ein Sechstel. Das lohnt sich schon!

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