Notwendige Bedingun für Extrema???!!!

14.08.2005, 20:42

noozle22

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Notwendige Bedingun für Extrema???!!!

Hallo ihr Lieben,
erst einmal ich bewundere jeden der Mathe versteht. Ich hoffe eine/r von euch euch Göttern/Göttinnen kann mir helfen.
Folgendes: Aufgabe
Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)= x^3 + 2y^3+ 2x^2+ x-150y+ 3 \end{eqnarray*}$
a) Geben Sie die Koordinaten (x;y) aller Punkte ean, die die notwendige Bedingung für Extrema erfüllen.
b) An welchen Punkten (x;y) hat die Funtion Extrema? Maximum oder Minimum?

Jetzt mal ganz ehrlich ich weiß nicht was der gute mann von mir möchte...

Danke im Voraus!!!

14.08.2005, 20:45

Calvin

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RE: Notwendige Bedingun für Extrema???!!!
Kennst du denn die notwendige Bedingung für Extrema (=Hoch- und Tiefpunkte)?

14.08.2005, 20:58

brunsi

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RE: Notwendige Bedingun für Extrema???!!!
falls du es nciht weißt, danns chaue mal bei Wikipedia nach. dort wirst du fündig.

14.08.2005, 21:02

derkoch

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hier mußt du mit den partiellen ableitung 1. und 2. ordnung ran gehen.

14.08.2005, 21:16

noozle22

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Also ich kenne die notwendigen Bedingungen für lokale Maixima und Minima, dass mit der Kurvendiskussion und so, aber mehr nicht. Danke für den Tip bei Wikipedia, werd ich gleich mal suchen:-)
Also leite ich am besten die Funktion zuerst partiell ab und suche die Nullstellen??? Oh ich seh grad da kann man doch auch was ausklammern, oder?
Bin ich echt soooo schlecht in Mathe:-(

14.08.2005, 21:16

bounce

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hallo also notwendige Bedingung ist immer F'(x) = 0 setzen

bsp: x^2 + 3x +2

da macht man die Ableitungen

F'(x) = 2x +3

diese setzt man dann = 0
also 2x+3 = 0
stellt das dann nach x um

und setzt dann das x in die zweite Ableitung und guckt ob es ein Min oder Max also jeweils Tief oder Hochpunkt
dann setz man das noch in die Ausgangsfunktion ein und bekommt dann den y wert raus und dann hat man seine Extrema

hoffe es war verständlich hab net so viel Zeit wenn du wasn icht verstehst frag nach...jedoch bei dieser fkt. musst du das machen was derkoch geschreiben hat smile

smile

und nutz wikpedia

gruss bounce

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14.08.2005, 21:23

derkoch

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Zitat:

Original von noozle22
Also ich kenne die notwendigen Bedingungen für lokale Maixima und Minima, dass mit der Kurvendiskussion und so, aber mehr nicht. Danke für den Tip bei Wikipedia, werd ich gleich mal suchen:-)
Also leite ich am besten die Funktion zuerst partiell ab und suche die Nullstellen??? Oh ich seh grad da kann man doch auch was ausklammern, oder?
Bin ich echt soooo schlecht in Mathe:-(

laß die funktion so wie sie das steht, es ist immer einfacher ne summe oder differenz abzuleiten als ein produkt oder nen quotient.

genau zuerst partiell ableiten und die nullstellen suchen

14.08.2005, 21:36

noozle22

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kann es sein das da ziemlich krumme zahlen rauskommen??? naja, werd mal noch ein wenig rum probieren. Aber danke für eure Hilfe, echt lieb von euch:-)

15.08.2005, 17:24

Calvin

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Es kommen keine krummen Zahlen raus. Wenn du nicht weiterkommst, poste einfach mal deine Zwischenschritte.

Tipp für Aufgabe a) Es sind 4 verschiedene Punkte smile

smile

15.08.2005, 17:54

noozle22

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Alles klar, meine Zwischenschritte, aber bitte nicht lachen Big Laugh

Big Laugh

nach x $\begin{eqnarray*} 3x^2+4x+1=0 \end{eqnarray*}$
und da kommt dann error raus denn $\begin{eqnarray*} x= \sqrt{ \frac{-4}{3} } \end{eqnarray*}$ geht ja garnicht.
nach y: $\begin{eqnarray*} 6y+150= 0 \end{eqnarray*}$ und => y=25

und da hängts jetz irgendwie!!!
danke im voraus...

15.08.2005, 18:26

Calvin

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Na da haben wir doch schon die Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die partielle Ableitung nach x stimmt. Aber wie kommst du denn auf diese Lösung der quadratischen Gleichung? Welche Formel hast du genommen (abc-Formel oder pq-Formel)?

Bei der partiellen Ableitung nach y fehlt ein Quadrat und ein Vorzeichen ist falsch. $\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=6y^2-150 \end{eqnarray*}$ .

15.08.2005, 18:56

iammrvip

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Das gehört dann auch wohl schon eher in das Analysisstudium, deshalb

Verschoben

in Höhere Mathematik.

PS:

Zitat:

Original von noozle22
und da kommt dann error raus denn $\begin{eqnarray*} x= \sqrt{ \frac{-4}{3} } \end{eqnarray*}$ geht ja garnicht.

Geht jawohl!! Big Laugh

Big Laugh

....... $\begin{eqnarray*} x = \frac{2\mathrm i}{\sqrt 3} \end{eqnarray*}$ , jedoch $\begin{eqnarray*} \not\in D_f \end{eqnarray*}$ entfällt also.

15.08.2005, 20:00

noozle22

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höhere mathematik??? ehrlich? für mich ist mathe immer zu hoch, studiere aber nur als nebenfach bwl und muss mich halt etwas abquälen:-) aber gut. deswegen weiß ich auch nicht das man einfach so i einsetzen kann...dachte negative wurzeln gibt es nicht???
hui, da war aber ein riesen rechenfehler drin, y=5, und für x nehme ich $\begin{eqnarray*} \frac{2i}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$ ???? und dann?

15.08.2005, 20:10

Calvin

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Den Kommentar von iammrvip kannst du überlesen, da deine Lösung $\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie bist du überhaupt darauf gekommen?

Ich fasse mal zusammen:

Die partiellen Ableitungen sind
$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=3x^2+4x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=6y^2-150 \end{eqnarray*}$

Für die notwendige Bedingung musst du alle Zahlenpaare (x,y) suchen, für die $\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=0 \text{ und } f_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Also in diesem Fall: $\begin{eqnarray*} 3x^2+4x+1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6y^2-150=0 \end{eqnarray*}$ . Beide Gleichungen haben jeweils 2 Lösungen!

Die erste Gleichung kannst du mit der pq-Formel oder der abc-Formel(=Mitternachtsformel) lösen.

Bei der zweiten Gleichung hast du die Lösung y=5 schon gefunden. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung umgeformt hast, bis du $\begin{eqnarray*} y^2=25 \end{eqnarray*}$ hattest. Denke nochmal darüber nach, wie die zweite Lösung dieser Gleichung lauten könnte.

Gruß
Calvin

15.08.2005, 20:24

noozle22

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Die abc Formel ist doch diese hier: $\begin{eqnarray*} b\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}} {2} \end{eqnarray*}$ ich bekomme dann tatsächlich zwei ergebnisse jeweils und zwar x=3 , x=5 und y=5 , y=-5
ok....sind das jetzt schon die koordinaten, wen ja welche gehören denn da zusammen??? ich liebe es wenn es langsam klick macht Big Laugh

Big Laugh

15.08.2005, 20:29

Calvin

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Die abc-Formel ist nicht ganz richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ . Damit kommst du auf die zwei Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \text{ und } x_2=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Um alle Punkte zu bekommen, die die notwendige Bedingung erfüllen, musst du die x-Werte und y-Werte in allen Kombinationen zusammenfassen, denn das sind die Punkte, für die f_x und f_y gleichzeitig Null ergeben.

$\begin{eqnarray*} (x_1,y_1), (x_1,y_2), (x_2,y_1), (x_2,y_2) \end{eqnarray*}$

Damit ist Aufgabenteil a) schon beendet.

Bei Aufgabenteil b) muss dir jemand anderes helfen. Ich mache den PC jetzt aus. Am besten ist es, du schreibst deine Ansätze und Ideen hier nieder.

15.08.2005, 21:04

noozle22

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hey, vielen vielen dank dafür, habs jetzt soweit verstanden, also die a! haben die abc formel so aufgeschrieben, komisch!?
aber danke....
also die koordinaten sind (-1; 5), (-1; -5), (-1/3; 5), (-1/3; -5)

also um jetzt die b) zu lösen (an welchenpunkten hat die funktion exterma?minima, maxima?) würde ich jetzt diese koordinaten in F(x,y) einsetzen...oder?

15.08.2005, 21:41

derkoch

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kennst du die bedingungen für relative extrema?

16.08.2005, 03:04

WebFritzi

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Sage mal, hast du kein Skript oder ähnliches? Normalerweise berechnet man nun die Hesse-Matrix (2. Ableitung) und schaut, ob diese positiv/negativ definit ist. Dafür gibt es im Zweidimensionalen (und wir sind im Zweidimensionalen) ein schönes Kriterium mit der Determinante.

16.08.2005, 07:44

Trazom

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RE: Notwendige Bedingun für Extrema???!!!

Zitat:

Original von noozle22
Hallo ihr Lieben,
erst einmal ich bewundere jeden der Mathe versteht.

Schleimer

16.08.2005, 09:27

n!

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und hier der Begriff der Hesse Matrix

http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Das heißt,was du jetzt tun musst ist folgendes: Du differenzierst jetzt die partiellen Ableitungen.Beachte: Bei einer Funktion mit zwei Variablen hast du nach dem ersten ableiten zwei Funktionen erhalten (einmal nach x und einmal nach y).Wenn du jetzt wieder differenzierst,musst du das mit beiden Funktionen machen.Das heißt du bekommst am Ende vier Funktionen.

danach sollte dich der Link eigentlich aufklären. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2005, 16:13

noozle22

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das ist bwl mathe und im skript steht garnix über hesse drin. da steht nur die notwendige bedingung für lokale extrema, mehr nicht, nichts mit relativen bedingungen usw. naja, ist jetzt eh zu spät, hab die klausur heute in den sand gesetzt traurig

traurig

heeeeeeyyyyy, bin kein schleimer, das war ernst gemeint.
danke für die mühe...

16.08.2005, 16:30

AD

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Der vorliegende Fall ist insofern ein Spezialfall, dass sich die Funktion gemäß

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=g(x)+h(y) \end{eqnarray*}$

trennen lässt. Wenn darüber hinaus auch der Definitionsbereich ein Rechteck ist (im vorliegenden Fall ein "unendliches" Rechteck, also die ganze Ebene), dann ist (x,y) genau dann lokales Maximum, wenn x lokales Maximum von g und y lokales Maximum von h ist. Gleiches gilt für die Minima.

Die Kombination eines Maximums x von g mit einem Minimum y von h ergibt dann einen Sattelpunkt (x,y), etc.

Somit braucht man hier gar keine Kenntnisse über Hesse-Matrix usw., sofern man nur die Struktur $\begin{eqnarray*} f(x,y)=g(x)+h(y) \end{eqnarray*}$ erkennt.

17.08.2005, 19:30

iammrvip

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Zitat:

Original von noozle22
das ist bwl mathe und im skript steht garnix über hesse drin.

Steht vlt. etwas in der Art:

$\begin{eqnarray*} \mathrm H_f = f_{xx}f_{yy} - f^2_{xy} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Authur Dents Beitrag ist wieder auch sehr gut smile

smile

.

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