Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz

14.08.2005, 22:36

ulli

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Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz

Guten Nabend,

Ich hoffe ihr könnt mir bei der folgenden Aufgabe helfen. Ich soll hier auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz untersuchen.
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

Ich glaube zu wissen, dass die Beschränktheit die Konvergenz einschliesst. Wie mache ich das denn mit der Monotonie? Könnte mir das vielleicht jemand ein wenig näher bringen?

edit (AD): Beiträge zusammengefasst und LaTeX verbessert.

14.08.2005, 23:01

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von ulli
Ich glaube zu wissen, dass die Beschränktheit die Konvergenz einschliesst.

Was soll das heißen? $\begin{eqnarray*} (a_n)\text{ konvergent}\ \Rightarrow\ (a_n)\text{ beschränkt} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a_n)\text{ beschränkt}\ \Rightarrow\ (a_n)\text{ konvergent} \end{eqnarray*}$ ??
Zur Monotonie: Es ist stets

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+k}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

14.08.2005, 23:09

AD

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@MSS

Etwas kryptisch, dein Hinweis zur Monotonie. verwirrt

verwirrt

@ulli

Bilde die Differenz $\begin{eqnarray*} a_n-a_{n-1} \end{eqnarray*}$ (oder von mir aus auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ ), die lässt sich zu einem Ausdruck ohne Summensymbol vereinfachen. Und diesem Ausdruck sieht man die Positivität ziemlich schnell an.

14.08.2005, 23:13

Mathespezialschüler

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@Arthur
Anscheinend war ich grad noch bei der Beschränktheit. Hab wohl zu viel über die Aussage von ulli nachgedacht. Also kein Wunder, dass er kryptisch scheint. Hammer

Hammer

Gruß MSS

15.08.2005, 12:23

ulli

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Ich meinte das eigentlich so:

"Eine monotone Folge die beschränkt ist, ist auch konvergent."

15.08.2005, 15:09

WebFritzi

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So ist es.

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15.08.2005, 22:18

Mathespezialschüler

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Danach hat es sich aber oben bei Weitem nicht angehört! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

16.08.2005, 00:25

ulli

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Ja, stimmt. Das hab ich wirklich ein bisschen komisch dahingeschrieben.

zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=\sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{n+1+k}- \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k} = ... = \frac{1}{2(2n+1)(n+1)} \end{eqnarray*}$

Und das ist größer als null. also monoton wachsend.

wie zeige ich die Beschränktheit?

16.08.2005, 00:26

ulli

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Ist streng monoton wachsend!

16.08.2005, 02:49

WebFritzi

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Na, einen Hinweis hatte dir MSS doch schon gegeben. Er hatte diesen allerdings als einen Hinweis zur Monotonie verkauft... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2005, 15:20

ulli

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also reicht das wenn ích sage $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+k}< \frac{1}{n}<1 \end{eqnarray*}$

16.08.2005, 15:28

AD

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Nein, du hast die Summe vergessen. Die Abschätzung bezog sich auf jeden einzelnen Summanden dieser Summe!

16.08.2005, 17:06

ulli

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$\begin{eqnarray*} a_n\leq n \frac{1}{n+1} <1 \end{eqnarray*}$

so?

16.08.2005, 19:58

Mathespezialschüler

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So meinte ich das eigentlich nicht. Ich weiß nicht, ob dein Gedanke tatsächlich richtig ist, das Ergebnis ist es zumindest. Aber ich hatte folgendes gedacht:
Für jeden der Summanden gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+k}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n+k}<\text{ ?} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

16.08.2005, 21:01

AD

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Also ich sehe keinen substanziellen Unterschied zwischen Summation von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+k}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ (MSS) einerseits und der von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+k}\leq \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ (ulli) andererseits. Ok, bei letzterer ist dann noch eine zusätzliche Abschätzung nach oben nötig, die aber so kompliziert nicht ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2005, 21:08

Mathespezialschüler

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So meinte ich das nicht. Natürlich geht das, aber ich bin mir nicht sicher, ob ulli tatsächlich auch einen richtigen Weg zum Ergebnis hat, zumal er/sie diesen nicht direkt gepostet hat.

Gruß MSS

16.08.2005, 22:27

ulli

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Kann ja net jeder so doll sein. Muss ja auch doofe leute geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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