standardnormalverteilte Zufallsvariablen

10.02.2008, 17:27	deshania	Auf diesen Beitrag antworten »
standardnormalverteilte Zufallsvariablen Hallo. Meine Aufgabe lautet Es seien X, Y unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Berechnen Sie die Dichte der zweidimensionalen Zufallsvariablen (U, V):=(X+Y, X-Y) Standardnormalverteilt heißt ja für die Dichte $\begin{eqnarray} \varphi(t) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-t^2/2} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich einfach drauf losgerechnet $\begin{eqnarray} P((U, V))=P(U=X+Y, V=X-Y) + P(U=X-Y, V=X-Y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x+y)^2/2}\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x-y)^2/2} +\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x-y)^2/2}\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x+y)^2/2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x+y)^2/2}\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x-y)^2/2} \end{eqnarray}$ Die Rechnung kann man noch vereinfachen, aber ich möchte erst einmal wissen, ob der Ansatz stimmt. Vielleicht muß es auch nur heißen $\begin{eqnarray} P((U, V))=P(U=X+Y, V=X-Y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x+y)^2/2}\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{-(x-y)^2/2} \end{eqnarray*}$ Oder auch nicht? Grüße von deshania
10.02.2008, 17:39	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{eqnarray} g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,~(x,y)\mapsto g(x,y)=(x+y,x-y) \end{eqnarray}$ ist ein Diffeomorphismus mit nicht verschwindender Jacobi-Determinante und Umkehrabbildung $\begin{eqnarray} g^{-1}(x,y)=\left(\frac{x+y}2, \frac{x-y}2 \right) \end{eqnarray}$ . Verwende den Transformationssatz für Wahrscheinlichkeitsdichten.

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