Spline Interpolation

Neue Frage »

s82 Auf diesen Beitrag antworten »
Spline Interpolation
Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich die Splinefunktion s(x) mit folgenden Eigenschaften bestimmen soll:
s(0)=s(1)=s(3)=0,S'(0)=10,S'(3)=0

Ich weis jetzt leider nicht ob ich eine lineare,quadratische oder eine kubische Interpolationsfunktion bestimmen soll,aber da nur die erste Ableitung gegeben ist würde ich sagen das ich eine lineare Spline Interpolation durchführen muss oder?

Wäre schon wenn mir jemand bei diesem Problem helfen könnte und mir auch eventuell einen Tipp für den Ansatz geben könnte
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Linear geht nicht. Es muss mindestens quadratisch sein, dann hat man in der Mitte allerdings nicht notwendigerweise eine stetige Ableitung.
mfG 20
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weis ich das es mindestens quadratisch sein muss? Kann ich da nicht so vorgehen:
s(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
und nun die ableitung davon und die gegebenen Werte in S(x) und S'(x)Einsetzen,oder?
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis leider nicht wie ich S(x) berechnen soll!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Splines sind Polynome zwischen den Stützstellen, du brauchst also zwei Ansätze.
Jedes der beiden Polynome hat durch die beiden Ränder und die Ableitung an einem Rand schonmal 3 festgelegte Parameter, ist also mindestens quadratisch. Da die n-1 ten Ableitungen in der Mitte aber auch übereinstimmen müssen, würde ich sagen, dass du Grad 3 brauchst. Dann liefert dir die zweite Ableitung in der Mitte noch zwei Bedingungen, insgesamt also 4 für jede Seite. Dann passts.
mfg 20
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh letzt leider nicht wie ich auf die 2. Ableitung kommen soll da ja nur die 1. Ableitungen gegeben sind?
Wäre schön wenn du mir mal den Ansatz geben könntest Freude
Ich weis nicht so ganz wie ich vorgehen soll.
mfg s82
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitungen sollen übereinstimmen, an den Zwischenstellen, hier also nur an der Mitte.
D.h. du leitest den Ansatz links und den Ansatz rechts ab, setzt 1 ein und setzt das ganze gleich. Das auch noch mit der zweiten Ableitung. Da kommen deine beiden Bedinungen her.
mfG 20
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du mir bitte mal den ansatz hinschreiben,ich weis nicht wie ich anfangen soll.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Splinefunktion besteht aus zwei Funktionstermen, jeder für ein Intervall gültig:



mit

für

für .

Also sind insgesamt die 8 Parameter bis zu bestimmen. Dazu steht dir zur Verfügung:

Zitat:
Original von s82
s(0)=s(1)=s(3)=0

Übersetzt in die obigen Teilfunktionen:



, stetiger Anschluss zwischen und im Punkt !


Zitat:
Original von s82
S'(0)=10,S'(3)=0




Fehlen noch zwei Bedingungen: Das sind die Stetigkeitsbedingungen für die erste und zweite Ableitung von im Zwischenpunkte :




Macht summa summarum ein 8x8-lineares Gleichungssystem für a-h, allerdings "dünn" besetzt und damit leicht lösbar.

-----------------
Generell hat man bei kubischen Splines bei Vorgabe von Funktionswerten und daraus dann zu bastelnden Zwischenintervallen genau zwei Freiheitsgrade noch zur Verfügung. Im vorliegenden Fall wurden die verbraten durch Vorgabe der 1.Ableitung an den beiden Randstellen 0 und 3.
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dann auf ein solches Gleichungssystem kommen:



Wie müsste ich den Vorgehen wenn die erste Ableitung nicht gegeben wäre?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwelche zwei Bedingungen muss es geben, ansonsten ist der Spline nicht eindeutig festgelegt.
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

s(x)=s1(x)+s2(x) oder?
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. Randkrümmung oder Randsteigung muss vorgegeben sein?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind die üblichen Forderungen. Denkbar sind aber auch Mischformen (z.B. Steigung links, Krümmung rechts) oder aber periodische Splines (gleiche Steigung links und rechts, gleiche Krümmung links und rechts), ... Vieles ist da möglich.
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben bei dieser Aufgabe nur noch die Stetigkeitsbedingungen mit eingebracht,aber ich habe jetzt noch im Internet bei Wikipedia zusätzlich die Interpolationsbedingungen: für j=0,...,(n-1)


Meine Frage wäre jetzt folgende:
Diese Bedingungen musste ich doch nicht verwenden da diese schon gegeben sind (S(0)=S(1)=...)?
Wann hätte ich diese Bedingungen mit einbringen müssen?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von s82
Diese Bedingungen musste ich doch nicht verwenden da diese schon gegeben sind (S(0)=S(1)=...)?


Du widersprichst dir selber.
Du hast sie ja verwendet, sie sind gegeben, wie du gesagt hast.
mfG 20
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre schön wenn du mir mal ein Beispiel geben könntest wo ich die Interpolationsbedingungen zusätzlich mit einbringen muss Augenzwinkern
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Du HAST schon sie schon eingebracht.
Bei dir ist x_1=0, x_2=1, x_3=3 und die f Werte sind alle 0.
mfg 20
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde noch interessieren wieviel Punkte ich für die kubische Spline-Interpolation benötige?
Geht das auch mit zwei Punkten?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du dir eigentlich auch selber überlegen:

Zwei Randpunkte macht 2 Bedingungen.
Nun musst du die letzten 2 noch festlegen, wie Arthur schon gesagt hat, also zum Beispiel so wie oben, mit den beiden Ableitungen am Rand.
mfG 20
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenfrage
Hast Du matlab? Sonst kannst Du es dir auch mal auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm veranschaulichen lassen.
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habe matlab
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich nur zwei Punkte habe entfallen doch die Stetigkeitsbedingungen,oder?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von s82
ja ich habe matlab


Kannst ja mal hiermit ein bisschen rumspielen. [*download link entfernt*]
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe und für das Programm Freude
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,mich würde noch interessieren wenn ich drei Punkte zu Interpolieren habe dann erhalte ich ja 2 Polynome.Ist S(x)=S0(x)+S1(x),also die summe der Polynome?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

nein, der Spline ist doch dann Abschnittsweise über die Polynome definiert.
s82 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. ich berechne nur die Koeffizienten von S0(x) und S1(x) und S0 gilt für x0<x<x1 und S1 für x1<x<x2 , es würden also 2 Polynome zum Schluss übrig bleiben die für unterschiedliche Bereiche gelten
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Einen Spline nennt man ja auch eine stückweise polynomiale Funktion.

http://de.wikipedia.org/wiki/Spline
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »