kleinste Sigmaalgebra messbar Potenzmenge

10.02.2008, 20:47

DieFs

kleinste Sigmaalgebra messbar Potenzmenge

Hallo. Leider harperts bei mir an der Übung bei einer Aufgabe zur Sigmaalgebra.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}_{+} \to \{0,1\} \end{eqnarray*}$ sei definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \cup (1,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für x = 1 oder $\begin{eqnarray*} x\in [2,\infty) \end{eqnarray*}$

Geben Sie die kleinste sigmaalgebra $\begin{eqnarray*} \mathbb{A} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ an, sodass $\begin{eqnarray*} f \mathbb{A} - \mathbb{P} (\{0,1\}) \end{eqnarray*}$ messbar ist.

P(0,1) ist ja bekanntlich die Potenzmenge mit 4 Elementen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} (\{0,1\}) = \{ \{0,1\}, \emptyset, \{0 \}, \{1\} \} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich, ich muss die Urbilder betrachten

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (0) = [0,1) \cup (1,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (1) = 1 \cup [2,\infty) \end{eqnarray*}$

Meine Behauptung für das Mengensymstem, das ich daraus ableiten kann

$\begin{eqnarray*} \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , \{[0,1) \cup (1,2)\} , \{ 1 \cup [2,\infty) \} \} \end{eqnarray*}$

Und jetzt scheint mir das auch die Sigmaalgebra zu sein

$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , \{[0,1) \cup (1,2)\} , \{ 1 \cup [2,\infty) \} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{[0,1) \cup (1,2)\}^c = \{ 1 \cup [2,\infty) \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{[0,1) \cup (1,2)\} \cup \{ 1 \cup [2,\infty) \} = \mathbb{R}_{\ge 0} \end{eqnarray*}$

Wäre total super, würde mir hier jemand bei helfen.

Grüße, DieFs

10.02.2008, 21:05

WebFritzi

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Bis auf einige Notationsfehler brauchst du keine Hilfe. Augenzwinkern

10.02.2008, 22:13

DieFs

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Können wir die Notationsfehler auch noch durchgehen?

Ich habe geschrieben

Zitat:

P(0,1) ist ja bekanntlich die Potenzmenge mit 4 Elementen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} (\{0,1\}) = \{ \{0,1\}, \emptyset, \{0 \}, \{1\} \} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich, ich muss die Urbilder betrachten

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (0) = [0,1) \cup (1,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (1) = 1 \cup [2,\infty) \end{eqnarray*}$

Meine Behauptung für das Mengensymstem, das ich daraus ableiten kann

$\begin{eqnarray*} \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , \{[0,1) \cup (1,2)\} , \{ 1 \cup [2,\infty) \} \} \end{eqnarray*}$

Das darf man noch so schreiben?

Zitat:

Und jetzt scheint mir das auch die Sigmaalgebra zu sein

$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , \{[0,1) \cup (1,2)\} , \{ 1 \cup [2,\infty) \} \} \end{eqnarray*}$

Hier hatte ich schon intuitiv ein schlechtes Gefühl. Statt \{[0,1) \cup (1,2)\} fiel mir alternativ vielleicht noch $\begin{eqnarray*} \{[0,2)\backslash \{1\} \} \end{eqnarray*}$ ein, aber das macht die Sache auch nicht schöner

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{[0,1) \cup (1,2)\}^c = \{ 1 \cup [2,\infty) \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{[0,1) \cup (1,2)\} \cup \{ 1 \cup [2,\infty) \} = \mathbb{R}_{\ge 0} \end{eqnarray*}$

Hier ist mir die Notation sicherlich auch nicht geglückt. Ich vermute, diie Vereinigung stört einfach. Dann liegt das Übel wohl doch ganz am Anfang bei
$\begin{eqnarray*} f^{-1} (0) = [0,1) \cup (1,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (1) = 1 \cup [2,\infty) \end{eqnarray*}$

Oder darf ich in der Sigmaalgebra die Intervalle einfach nicht als Mengen schreiben? Sondern besser
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , [0,1) \cup (1,2) , 1 \cup [2,\infty) \} \end{eqnarray*}$

Grüße, DieFs

10.02.2008, 23:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von DieFs
Oder darf ich in der Sigmaalgebra die Intervalle einfach nicht als Mengen schreiben? Sondern besser
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , [0,1) \cup (1,2) , 1 \cup [2,\infty) \} \end{eqnarray*}$

So ists schon besser. Aber

1

ist keine Menge. Augenzwinkern

11.02.2008, 08:39

DieFs

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Ganz korrekt ist also die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , [0,1) \cup (1,2) , \{1\} \cup [2,\infty) \} \end{eqnarray*}$

Wie wäre dann aber die Schreibweise, die ich von Maßen kenne:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \{ \mathbb{R}_{\ge 0} , \emptyset , [0,1) \cup (1,2) , [1,1[ \cup [2,\infty) \} \end{eqnarray*}$

[1,1[ bezeichnet ein Intervall mit nur einem Punkt?

Grüße
DieFs

11.02.2008, 12:19

Frooke

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Nicht ganz, [1,1[ ist widersprüchlich (einerseits ist die 1 dabei, andererseits nicht), wenn Du nur einen Punkt als Intervall schreiben willst, dann [1,1]... (Aber ich finde {1} besser...).

11.02.2008, 15:47

DieFs

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Ok
dann habe ich wieder viel dazu gelernt. Danke euch beiden

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