Partielle Ableitung und Substitution

15.08.2005, 16:28

Mexaner

Partielle Ableitung und Substitution

Hallo,

hänge gerade an folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x\sqrt{x+1}~dx \end{eqnarray*}$

Habe schon versucht die Aufgabe nur mit Substitution zu lösen, und auch mit partieller Intergration plus Substitution. Bei der Ableitung von F(x) kam aber immer was anderes als vorher raus.

Was ist denn der richtige Weg die Aufgabe zu lösen?

Vielen Dank...

15.08.2005, 16:43

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partielle Integration+Substitution müsste zum Ziel führen.

Wähle bei der partiellen Integration $\begin{eqnarray*} u(x)=x , v(x)=\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

Dann substituierst du im Integral,dass bei der partiellen Integration entsteht

15.08.2005, 16:58

Leopold

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Oder so:

$\begin{eqnarray*} x \sqrt{x+1} = (x+1) \sqrt{x+1} - \sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt lineare Substitution mit innerer Ableitung 1. Das war's.

15.08.2005, 17:07

noozle22

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hallo was hast du denn da raus?
Also eine freundin von mir hat folgendes raus:
\frac{2}{3} x \sqrt{(x+1)^3}- \frac{4}{15} \sqrt{ (x+1)^5}
Aber leider weiß ich nicht wie sie darauf kommt. Vielleicht weißt du es ja? Und sagst es mir???

huch sorry formel fehler:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} x \sqrt{(x+1)^3}- \frac{4}{15} \sqrt{ (x+1)^5} \end{eqnarray*}$

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

15.08.2005, 17:34

Leopold

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Mit dem Ansatz aus meinem vorigen Beitrag geht es so:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \sqrt{x+1}~\mathrm{d}x \ = \int_{}^{}~\left( (x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}} \right)~\mathrm{d}x \ = \ \frac{2}{5} (x+1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Und deine Freundin hat auch recht. Und warum das so ist, kannst du ja selbst einmal überlegen ...

15.08.2005, 17:56

Mexaner

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Zitat:

partielle Integration+Substitution müsste zum Ziel führen.
Wähle bei der partiellen Integration $\begin{eqnarray*} u(x)=x , v(x)=\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$
Dann substituierst du im Integral,dass bei der partiellen Integration entsteht

Also ich bin bisher soweit:

$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

******

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x^2*\sqrt{x+1} - \int_{}^{}~\frac{1}{2}(x+1)^{- \frac{1}{2}} * \frac{1}{2}x^2~dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das bisher? setze ich dannach $\begin{eqnarray*} z=(x+1) \end{eqnarray*}$ ?

15.08.2005, 18:00

Leopold

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Du machst ja alles komplizierter statt einfacher. Du mußt es gerade umgekehrt anpacken. Beginne die partielle Integration mit der Integration von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ . Beachte, daß die innere Funktion die Ableitung konstant 1 hat, bei der Substitutionsregel also glatt unterschlagen werden kann.

15.08.2005, 18:13

Mexaner

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Zitat:

Du machst ja alles komplizierter statt einfacher. Du mußt es gerade umgekehrt anpacken.

Das war der entscheidende Tipp, vielen Dank dafür! Freude

15.08.2005, 18:17

Leopold

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Schau dir auch noch einmal meine Lösung an. Für den Anfänger liegt sie vielleicht nicht nahe, weil sie doch recht trickreich ist. Sie ist aber weniger anfällig gegen Rechenfehler und kürzer.

15.08.2005, 18:20

Mexaner

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Zitat:

Oder so:

$\begin{eqnarray*} x \sqrt{x+1} = (x+1) \sqrt{x+1} - \sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt lineare Substitution mit innerer Ableitung 1. Das war's.

falls du diese meinst, ich verstehe das leider nicht so ganz! Was hast du denn überhaupt gemacht? verwirrt

15.08.2005, 18:25

Leopold

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Da habe ich noch gar nicht integriert, sondern nur den Term umgeformt (multipliziere den Term nach dem ersten Gleichheitszeichen einfach aus und vereinfache - dann siehst du es). In der umgeformten Form läßt er sich aber sofort integrieren.

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