Ungleichung lösen

15.08.2005, 16:46

noozle22

Ungleichung lösen

Hi an alle, ich bin es schon wieder. Danek an alle die mir bisher geholfen haben Wink

Ich komme nur auf eine Lösung bei folgender Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} <x \end{eqnarray*}$
Und zwar das die Lösungsmenge
$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R x>\sqrt{1} \end{eqnarray*}$ ist.
Ist das richtig? Kommt mri sehr seltsam vor.... Hilfe

Danke im Voraus!

15.08.2005, 16:58

Egal

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Also zunächst mal lässt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ noch einfacher schreiben. Und dann musst du bei der Multiplikation mit x eine Fallunterscheidung machen ob $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

15.08.2005, 17:07

Lazarus

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eins vorweg: $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$ !!!

ausserdem musst du bedenken das wenn du mit x multiplizierst das wenn x kleiner null ist du das kleiner zeichen umdrehen musst!

also fallunterscheidung !

servus

15.08.2005, 17:17

noozle22

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ja, das stimmt wohl, die wurzel aus eins ist eins...
also ist die Lösungsmenge x>1 v x<-1 ???

15.08.2005, 17:28

Leopold

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Zitat:

Original von noozle22
also ist die Lösungsmenge x>1 v x<-1 ???

Nein. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-2} < - 2 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

15.08.2005, 17:35

noozle22

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ich komme nicht drauf...ehrlich nicht.
ich könnte doch jetzt auch schreiben $\begin{eqnarray*} (x+1) (x-1) > 0 \end{eqnarray*}$
und da komm ich irgendwie nur auf die Lösungsmenge...wenn ich es genau umgekehrt mache, kommt ja gleich null raus, ist doch auch falsch oder??? och menno...

15.08.2005, 17:42

Leopold

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Schreib einmal die ganzen Umformungen hin, auch wenn es Zeit kostet. Ich weiß deinen Fehler, aber du solltest ihn selbst merken. Beachte die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ . Beginne so:

$\begin{eqnarray*} \text{I. Fall:} \ \ x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Hier kann man umformen:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} < x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Und jetzt bist du dran.

15.08.2005, 18:42

noozle22

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neee du, irgendwie klappts nicht.
umformen: 1<x^2; (x-1)(x+1)>0
Lösungsmenge wäre doch dann trotzdem das wie oben nur umgekehrt????
danke

15.08.2005, 18:54

Leopold

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Du unterschlägst völlig die Voraussetzung, unter der die ganze Umformung erfolgt, nämlich die Voraussetzung des I. Falles: $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Wenn nun $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ erst recht $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ , also kannst du durch $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ dividieren:

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1)>0 \ \ \ | \, \text{:}(x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

Unter allen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die größer 0 sind (Voraussetzung des I. Falles), sind also diejenigen, die größer 1 sind, Lösungen. Mit anderen Worten: Alle $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ sind Lösungen. Aber das sind noch lange nicht alle Lösungen. Die Aufgabe ist sozusagen erst zur Hälfte gelöst. Was ist denn im II. Fall? Den hast du noch gar nicht behandelt.

15.08.2005, 19:46

noozle22

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okay, ich hoffe du meinst den fall das x<0. wenn man das genauso macht wie mit dem erten Fall, also dividiert, dann ist x>-1...hoofentlich muss ich sowas morgen in der klausur nicht alleine lösen geschockt

15.08.2005, 22:46

Mathespezialschüler

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Verschoben

16.08.2005, 10:55

Lazarus

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eben gerade nicht!!!

wenn du eine ungleichung mit einer negativen zahl multiplizierst dann dreht sich das ungleichheitszeichen um !
beispiel:
$\begin{eqnarray*} 7>1 & | \cdot -1\\ -7<-1 \end{eqnarray*}$

is ja auch ganz logisch:
deine ungleichung da oben ist gültig für alle x betragsmässig grösser als der betrag von 1.
d.h. für 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ... aber auch für -2,-3,-4,-5,-6,-7 ...

ich nehm an des is dir auch aufgefallen.

wenn du das in ner prüfung machen musst zeichen dir doch nen zahlenstrahl hin und mach dir klar für welche bereiche diese gilt, und dann sollte die rechnung dahin nurnoch obligatorisch sein oder ?

servus

Edit: Latex verbessert (derkoch)

16.08.2005, 11:14

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Zitat:

Original von Lazarus
deine ungleichung da oben ist gültig für alle x betragsmässig grösser als der betrag von 1.
d.h. für 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ... aber auch für -2,-3,-4,-5,-6,-7 ...

Diesmal irrst du, Lazarus:
noozle22 hat recht, die Teillösung für den Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} -1<x<0 \end{eqnarray*}$ .

16.08.2005, 11:23

Leopold

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Aber ich glaube, daß noozle22 durch einen zweimaligen Irrtum darauf kommt. Ich könnte darauf schwören ...

Aber sie wollte ja partout den II. Fall nicht vorrechnen ...

16.08.2005, 16:08

noozle22

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schnapp und euch mal zu gucke....klausur ist sehr schlecht gelaufen, und diese Ungleichung kam nicht dran, leider´, denn wahrscheinlich wäre sie obwohl ich falsch drauf gekommen bin irgendwie richtig gewesen. werd euch also noch ne weile erhalten bleiben.
leopole für mich war das vorgerechnet?! das sollte der zweite fall sein...?
viiiiiiiiiiiiiiiieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeelllllllllllllllllllleeennn dank euch allen!!! ganz ehrlich

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