letzten beiden ziffern vergleichen

10.02.2008, 22:27	andreassz	Auf diesen Beitrag antworten »
letzten beiden ziffern vergleichen hi hoffe ihr könnt mir helfen: also wir haben folgende aufgabe: "man zeige, dass die letzten beiden ziffern der zahlen 137^2500 und 41^(625) identisch sind. wie lauten sie?" also ich glaube ich muss $\begin{eqnarray} 137^x 137^y mod 100 = 1 \end{eqnarray*}$ herausfinden also müsste ich ja ein x bzw ein y finden, so dass die letzte ziffer von 137^x = 1 ist oder? wie stelle ich das an? danke schonmal
10.02.2008, 22:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst zeigen: $\begin{eqnarray} 137^{2500} \equiv 41^{625} \pmod{100} \end{eqnarray}$ danach musst du noch eine zweistellige zahl finden, die zu den beiden zahlen ebenfalls kongruent modulo 100 ist. ein kleiner tipp: mit dem binomischen lehrsatz ist schnell gezeigt: $\begin{eqnarray} (n+20)^{625} \equiv n^{625} \pmod{100} \end{eqnarray}$
10.02.2008, 22:44	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein weiterer Tipp: Nach Fermat gilt $\begin{eqnarray} 37^{40}\equiv 1 \pmod{100} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} 137^{2500}\equiv 37^{20} = \sum_{k=0}^{20}{20\choose k} 30^k 7^{20-k} \equiv 7^{20}\pmod {100} \end{eqnarray}$ Betrachte mal $\begin{eqnarray} 7^d \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} d\|20 \end{eqnarray}$ für verschiedene (kleine) d.
10.02.2008, 22:45	andreassz	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir evtl einfach so sagen wie das geht? ich schreibe morgen die klausur und habe in einer alten klausur diese aufgabe gefunden und wollte sie gerne mit auf meinen zettel schreiben
10.02.2008, 23:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt hier keine komplettlösungen, aber ich schreibe dir jetzt mal eine kongruenzkette hin. ich hatte mir das so gedacht: $\begin{eqnarray} 137^{2500} \equiv (37^4)^{625} \equiv (69^2)^{625} \equiv 61^{625} \equiv 41^{625} \equiv 21^{625} \equiv 1 \pmod{100} \qed \end{eqnarray}$ versuche die einzelnen schritte (natürlich ohne taschenrechner) nachzuvollziehen bzw. nachzuweisen. ich bin jetzt mal weg, viel glück bei der klausur morgen
11.02.2008, 13:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist schön, dass so viele Wege nach Rom führen, deshalb gebe ich auch noch meinen Senf - ähh Weg - an: Zerlegung in Primpotenzmodule: Es ist $\begin{eqnarray} 100 = 2^2\cdot 5^2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} 137^{2500} \equiv 1^{2500} = 1 \mod 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 41^{625} \equiv 1^{625} = 1 \mod 4 \end{eqnarray}$ sind ja sofort klar. Es verbleiben unter Nutzung von Euler-Fermat im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray} \varphi(25)=20 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 20 \| 2500 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 137^{2500} \equiv 1 \mod 25 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 41^{625} = (25+16)^{625} \equiv 16^{625} = 2^{2500} \equiv 1 \mod 25 \end{eqnarray}$ . Macht zusammen: $\begin{eqnarray} 137^{2500} \equiv 1 \equiv 41^{625} \mod 100 \end{eqnarray}$
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »