Berechnung des Erwartungswert bei unbekannter Verteilung

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19.08.2005, 22:26	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Erwartungswert bei unbekannter Verteilung Hallo alle zusammen, ich bin auf der Suche nach dem Erwartungswert von N=n+i, leider kenne ich P(N=n+i) nur für $\begin{eqnarray} 0\leq i \leq n \end{eqnarray}$ . Es gilt aber $\begin{eqnarray} i\in [0,\infty[ \end{eqnarray}$ . Hat jemand eine Idee wie ich trotzdem den Erwartungswert berechnen kann. n ist übrigens eine Konstante. Danke schonmal. Liebe Grüße forkatrinchen
19.08.2005, 22:49	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
sehe ich das richtig? i wird beliebig aus deinem intervall gewählt? N ist eine zufallsvariable, die sich mit n+i berechnet? wenn ja: ignoriere zunächst das n, berechne den erwartungswert der zufallsvariablen, die einfach nur i ist. ich fürchte aber schon dieser erwartungswert existiert nicht.
19.08.2005, 23:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@forkatrinchen Wenn ich mal diverse Ungereimtheiten in der Formulierung rausfiltere, suchst du vermutlich den Erwartungswert der diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , von der du die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(N=n+i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=0,\ldots,n \end{eqnarray}$ kennst. Oder mit Indexverschiebung $\begin{eqnarray} k=n+i \end{eqnarray}$ anders ausgedrückt: Du kennst die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(N=k) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=n,\ldots,2n \end{eqnarray}$ . Wie man diesen Erwartungswert berechnet? Wie bei jeder diskreten Zufallsgröße, hier also $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(N)=\sum_{k=n}^{2n}~kP(N=k) \end{eqnarray}$ (Natürlich gesetzt den Fall, dass dieses $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ auch nur die Werte $\begin{eqnarray} n,n+1,\ldots,2n \end{eqnarray}$ annehmen kann, d.h., dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=n}^{2n}~P(N=k)=1 \end{eqnarray}$ gilt.)
20.08.2005, 14:04	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, danke für eure Antworten. @ Arthur Dent: Es gilt leider nicht N=n, n+1,...,2n. Da N auch größer als 2n werden kann. Kann ich E(N) also gar nicht berechnen? Liebe Grüße Katrin
20.08.2005, 14:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sprechen hier von der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ mit dem Wertebereich $\begin{eqnarray} \mathrm{W}=\{n+i\ \|\ i\in\mathbb N_0\} \end{eqnarray}$ , richtig? Nein, dann kannst du den Erwartungswert nicht berechnen, wenn du die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray} N=2n+i\qquad i\in\mathbb N \end{eqnarray}$ nicht kennst. Das wäre ja auch sinnlos. Der Erwartungswert kann ja nicht nur von den Wahrscheinlichkeiten einiger Zahlen aus dem Wertebereich abhängen. Gruß MSS
20.08.2005, 14:43	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich war ja auch der Meinung, dass ich den Erwartungswert nicht berechnen kann. Aber mein Professor sagt, dass ginge irgendwie. Oder kann ich ihn irgendwie abschätzen? Liebe Grüße forkatrinchen
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20.08.2005, 14:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vll zeigst du uns mal die komplette Aufgabe! Im Moment bleib ich nämlich dabei, dass das so allgemein nicht geht. Gruß MSS
20.08.2005, 15:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
MSS hat vollkommen recht. Immerhin kann man, sofern der Erwartungswert überhaupt existiert, eine untere Schranke für ihn angeben: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(N)\geq \sum_{k=n}^{2n}~kP(N=k) + (2n+1)\left[1-\sum_{k=n}^{2n}~P(N=k)\right] = 2n+1-\sum_{k=n}^{2n}~[2n+1-k]P(N=k) \end{eqnarray}$
20.08.2005, 17:07	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich habe folgendes gegeben: N=n+i mit $\begin{eqnarray} i\in [0,\infty[ \end{eqnarray}$ und n ist Konstante $\begin{eqnarray} P(N= n) = p^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(N= n+i)= \sum_{j=0}^{i-1}~ \begin{pmatrix} n \\ i-j \end{pmatrix} p^{n} q^{i} \begin{pmatrix} i-1 \\ j\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1\leq i\leq n \end{eqnarray}$ Aufgabe: Berechnen des Erwartungswertes von N! Danke für eure Hilfe! Liebe Grüße forkatrinchen
20.08.2005, 17:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Parameter $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gilt ja offenbar $\begin{eqnarray} 0\leq p\leq 1 \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ völlig unabhängig davon wählbar , oder gilt etwa $\begin{eqnarray} q=1-p \end{eqnarray}$ ? Das solltest du schon als entscheidende Information mit dazusagen!!!
20.08.2005, 17:20	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh entschuldigung!!! Natürlich hätte ich dazu schreiben sollen, dass $\begin{eqnarray} 0\leq p \leq 1 \end{eqnarray}$ und q=1-p Tut mir leid. forkatrinchen
20.08.2005, 17:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal kannst du wegen $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^{i-1}~{n \choose i-j}\cdot {i-1 \choose j} = {n+i-1 \choose i} \end{eqnarray}$ (was noch zu zeigen wäre!) deine Wahrscheinlichkeiten vereinfachen zu $\begin{eqnarray} P(N=n+i) = {n+i-1 \choose i} p^n q^i,\qquad i=0,\ldots,n \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich nicht, warum du die Beschränkung $\begin{eqnarray} i\leq n \end{eqnarray}$ hier hast. Für $\begin{eqnarray} i=0,1,2,\ldots \end{eqnarray}$ ergibt das nämlich gerade eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, denn unter Benutzung von $\begin{eqnarray} q=1-p \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\infty}~{n+i-1 \choose i} p^n q^i = 1 \end{eqnarray}$ (ebenfalls noch beweisbedürftig) .
20.08.2005, 17:43	forkatrinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Dent: Danke, danke, danke. Du bist ein Genie. Ich würde Dir am liebsten durch den Computer um den Hals fallen. Schönes Wochenende forkatrinchen

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