gleichgradig stetig

19.08.2005, 23:45

hilfe einfach stetigkeit

gleichgradig stetig

So Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \Phi:=\{x^n\mid n \in \mathbb N \} \subset C [0,1] \end{eqnarray*}$ ist gleichgradig stetig bei allen $\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1) \end{eqnarray*}$ , nicht jedoch bei 1.

So meine Überlegung bisher:

Ich muss zu einem beliebigem $\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1) \end{eqnarray*}$ und zu einem vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden.

Es muss also gelten:

$\begin{eqnarray*} \mid x-x_0\mid\leq \delta \Rightarrow \mid x^n-x_0^n\mid \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch. Helft mir!!!

Wieso es bei 1 nicht gleichgradig stetig sein kann ich auch nicht formal beweisen ich kanns nur so begründen: f(1)=1 und f(x) für x kleiner 1 geht gegen Null. Damit kann man für epsilon=0,5 kein delta angeben.....

P.s den anderen "fred" bitte löschen, da ist was scheif gelaufen

edit by LOED: hab ich gelöscht

da du hier username und titel verdreht hast, habe ich den titel aus dem anderen thread hier reingemacht
"viva" war als titel eher unbrauchbar

20.08.2005, 10:05

Mathespezialschüler

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Die nicht gleichgradige Stetigkeit bei 1 bedeutet ja einfach:

$\begin{eqnarray*} \exists\ \varepsilon_0>0\ \forall\ \delta>0\ \exists\ n\in\mathbb N\ \exists\ x\in [1-\delta,1]\ :\ |x^n-1|>\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$

Du hast schon richtig angefangen, nimm dir einfach mal $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt stell die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |x^n-1|>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ um und dann nimmst du dir zuerst ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in (1-\delta,1] \end{eqnarray*}$ und danach mithilfe dieser Ungleichung ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Und zur anderen Richtung. Da fehlt noch eine kleine Sache, damit das formal richtig ist. Das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss ja für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ das gleiche sein. Gleichgradige Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bedeutet also:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \ \exists\ \delta>0\ \ \forall\ n\in\mathbb N\ \ \forall\ x\in [x_0-\delta,x_0+\delta]\ :\ |x^n-x_0^n|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Kennst du den Satz, der besagt, dass eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen auf einer kompakten Menge sogar in jedem Punkt gleichgradig stetig ist? Damit ließe sich das ganz einfach machen.

Gruß MSS

20.08.2005, 17:44

Viva colonia!!!!

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$\begin{eqnarray*} |x^n-1|>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \neq 1 \end{eqnarray*}$ kann man das umschreiben als
$\begin{eqnarray*} \mid x^n-1|>0,5 \Leftrightarrow 1-x^n \geq 0,5 \Leftrightarrow -x^n \geq -0,5 \Leftrightarrow x^n \leq 0,5 \end{eqnarray*}$

Und dies kann man für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x_0\in [0,1) \end{eqnarray*}$

erreichen, da die n's beliebig groß werden. Somit ist klar, dass man kein delta finden kann.

zu2.

den Satz kenn ich inzwischen, aber als die Aufgabe gestellt wurde kannt eich den noch nicht, von dem her muss es wohl auch ohne gehen.

Das mit dem für alle n ist mir jetzt klar, ich weiß aber nicht wie ich
das delta in wählen muss.
$\begin{eqnarray*} \mid x-x_0\mid \leq \delta \Rightarrow \mid x^n-x_0^n \mid \leq \epsilon \forall n \end{eqnarray*}$

Wenn man das $\begin{eqnarray*} x^n-x_0^n \end{eqnarray*}$ irgendwie umforman könnte, so dass darin $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ vorkommt, könnte man doch die Anforderungen an delta ablesen oder?

20.08.2005, 20:35

Mathespezialschüler

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Wenn du mit einem echtgrößer-Zeichen anfängst, dann mache damit bzw. mit einem echtkleiner-Zeichen bitte auch weiter! Deine Argumentation ist zwar richtig, aber 100%ig korrekt ist sie nicht, weil du keine expliziten $\begin{eqnarray*} x,n \end{eqnarray*}$ angegeben hast. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Viva colonia!!!!
Wenn man das $\begin{eqnarray*} x^n-x_0^n \end{eqnarray*}$ irgendwie umforman könnte, so dass darin $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ vorkommt, könnte man doch die Anforderungen an delta ablesen oder?

Das habe ich auch schon überlegt, aber ich sehe da noch leichte Schwierigkeiten. Eine solche Umformung gibt es natürlich erstmal:

$\begin{eqnarray*} |x^n-x_0^n|=|x-x_0|\cdot\sum_{k=0}^{n-1}~x^kx_0^{n-1-k} \end{eqnarray*}$

und jetzt könnte man noch abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |x^n-x_0^n|=|x-x_0|\cdot\sum_{k=0}^{n-1}~x^kx_0^{n-1-k}\leq n\delta \end{eqnarray*}$ ,

aber um das $\begin{eqnarray*} \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu bekommen, müsste man $\begin{eqnarray*} \delta\leq \frac{\varepsilon}{n} \end{eqnarray*}$ wählen, was bedeuten würde, dass es kein von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängiges $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt. Die Abschätzung ist also zu grob.
Jetzt sehe ich, dass es mit einer feineren Abschätzung doch geht. Probier mal, die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nach oben abzuschätzen, sondern durch eine kleinere Zahl.

Gruß MSS

23.08.2005, 18:08

Viva

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$\begin{eqnarray*} \mid x-x_0\mid \leq \delta \Rightarrow \mid x^n-x_0^n \mid \leq \epsilon \forall n \end{eqnarray*}$

Wie wärs mit $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$ ?

Mit ausprobiern haut das immer hin, kann man das auch allgemein zeigen? (oder ist es doch falsch?)

23.08.2005, 19:34

Mathespezialschüler

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Das ist auf jeden Fall falsch! Ich hatte eher an so etwas gedacht:
Zunächst sei $\begin{eqnarray*} x\in \left[\frac{3x_0-1}{2}, \frac{x_0+1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |x^n-x_0^n|=|x-x_0|\cdot\sum_{k=0}^{n-1}~x^kx_0^{n-1-k}\leq |x-x_0|\cdot \sum_{k=0}^{n-1}~\left(\frac{x_0+1}{2}\right)^{n-1}=|x-x_0|\cdot n\left(\frac{x_0+1}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a_n:=n\left(\frac{x_0+1}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, also beschränkt. Was kannst du jetzt daraus weiter schließen?

Gruß MSS

24.08.2005, 12:17

VIVA

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So y=x_0

y=1/2 epsilon=1/3 Wähle delta=1/3

Beh: Für alle x in [1/6, 4/6] gilt:

$\begin{eqnarray*} |x_o^n-x^n|\leq1/3 \end{eqnarray*}$ für alle n.

Tabelle:

$\begin{eqnarray*} |1/6 - 1/2|=1/3\leq1/3 |4/6 - 1/2|=1/3 \leq 1/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |1/6^2 - 1/2^2|\leq1/4\leq1/3 |4/6 - 1/2| \leq 1/3 \end{eqnarray*}$

usw.

wie geht denn strikt kleiner/ größer in latex?

24.08.2005, 23:47

Mathespezialschüler

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Hmmm, sorry, aber was machst du denn da? Du hast jetzt explizit ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gewählt, aber du musst es doch für beliebige $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ machen. Den Rest verstehe ich auch nicht so richtig, könntest du das bitte mal erläutern?

Gruß MSS

26.08.2005, 01:16

VIVA COLOnia

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Meine Idee mit dem epsilon=delta war Unsinn.... hatte mich da etwas verannt, sorry. Aus der Tatsache, dass a_n beschränkt ist folgt wie du gesachrieben hast, dass die Folge durch eine Zahl p beschränkt ist, Man kann also delta=epsilon/p wählen oder?

So ganz sicher bin mir aber nicht, da ich nicht verstehe wie du auf dein Intervall am Anfang deines Beitrags gekommen bist.

Was ich auch nicht blick ist dass deine Folge a_n mit 1 startet und somit delta=epsilon zulässig wäre (ists ja aber nicht).

Weiß auch nicht, vielleicht ist es auch schon zu spät für mich um noch sinnvoll nachzudenken.

26.08.2005, 19:10

Mathespezialschüler

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Das Intervall hab ich jetzt zufällig gewählt. Du hättest auch eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} b\in (0,1-x_0) \end{eqnarray*}$ nehmen können und dann wäre für $\begin{eqnarray*} x\in [x_0-b,x_0+b] \end{eqnarray*}$ auch stets

$\begin{eqnarray*} |x^n-x_0^n|=|x-x_0|\cdot\sum_{k=0}^{n-1}~x^kx_0^{n-1-k}\leq |x-x_0|\cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(x_0+b)^{n-1}=|x-x_0|\cdot n(x_0+b)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Es geht nur darum, das abzuschätzen.
Die Folge startet zwar mit 1, aber das mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon\text{-}\delta \end{eqnarray*}$ muss ja für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gleichzeitig gelten, d. h. $\begin{eqnarray*} \delta=\varepsilon \end{eqnarray*}$ reicht absolut nicht!

Gruß MSS

26.08.2005, 21:14

VIVA

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Entscheidend ist doch der größte Wert p den die Folge annimmt, oder?
delta=epsilon/p klappt dann doch oder?

Stimmt das wenigstens soweit?

27.08.2005, 14:27

Mathespezialschüler

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Ja, genau so reicht es! Freude

Gruß MSS

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