ableitung / induktion notwendig? |
| 20.08.2005, 14:42 | lear | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| ableitung / induktion notwendig? X:1+ X/1!+X^2/2!+....+X^n/n! wie genau bestimmt man nun die ersten 5 ableistungen und dann die allgemeine,die n te ableitung? ist dies eine potenzreihe? ist eine vollständige induktion notwendig? |
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| 20.08.2005, 14:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi. Soll das eine Funktion darstellen? Dann ist deine Schreibweise etwas komisch. ist da etwas besser. 
Die ersten 5 Ableitungen bestimmst du einfach, indem du 5mal ableitest. Danach solltest du auch sehen, wie die n-te Ableitung aussehen muss. Eine Potenzreihe ist es übrigens noch nicht. Wenn du beweisen willst, dass die n-te Ableitung von die Form hat, die du noch herausfinden wirst, dann brauchst du schon eine Induktion, wenn du es formal richtig machen willst. Gruß MSS |
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| 20.08.2005, 16:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
noch als hinweis: übelegt euch mal, ob ihr n hier wirklich doppelmissbrauchen wollt es gibt so viele schöne buchstaben mfg jochen die n-te ableitung eines polynoms p vom grad n ist p^(n)=a*n!, wobei a der koeffizient von x^n ist |
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| 20.08.2005, 20:13 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Jochen Ich hab es nicht doppelt missbraucht. Denn ich dachte, lear würde hier in der Tat die n-te Ableitung für das vorgegebene n meinen und nicht die k-te Ableitung für ein allgemeines k. Gruß MSS |
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| 20.08.2005, 20:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich darüber nachdenke, hast du vielleicht (wahrscheinlich?) sogar recht 
mein fehlerallerdings weiß ich nicht, ob induktion dann wirklich nötig ist....... |
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| 20.08.2005, 20:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rein formal ist Induktion auf jeden Fall nötig, weil du n ja nicht explizit gegeben hast als n=100 oder so. Das heißt, bei Allgemeinheit von n würdest du ja mit Pünktchen arbeiten und gerade diese Pünktchenbeweise müssten korrekterweise (fast) immer mit Induktion gemacht werden. Gruß MSS |
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| 20.08.2005, 21:02 | lear | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vollständige induktion ist unbedingt notwendig,sonst ist die aufgabe nicht ausreichend beantwortet! |
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| 20.08.2005, 21:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
rekursiv von "oben" (ab- bzw. runterleiten), denn induktiv von "unten" (auf- bzw. hochleiten) folgendes setze ich als bekannt voraus: bei einer ableitung von polynomfunktionen werden die hochzahlen um 1 reduziert bei k ableitungen werden die hochzahl also um k reduziert; war die hochzahl dabei kleiner als k, so ist das glied spätestens nach der k-ten ableitung komplett verschwunden (*) desweiteren nur die üblichen ableitungsregeln: bei der ableitung wird je die hochzahl nach vorne als faktor gezogen konstante faktoren bleiben stehen summanden können winzeln behandelt werden (**) sei nun f=ax^n+.....+bx^0 ein solches polynom vom grade n, n mal abgeleitet nach (*) sind alle polynomtermteile mit hochzahlen <n verschwunden und wir müssen nur den term mit hochzahl n anschauen hochzahl nach n ableitungen: n-n=0, also konstante ableitung, gilt es nun nur noch dieses konstante polynom zu bestimmen; a bleibt erhalten, also f^(n)=a*h*x^0, h ist zu bestimmen als n! damit bestimmen wir unsere n-te ableitung rekursiv: solange grad(f^(k))>0 leiten wir weiter ab (dann kann nämlich die n-te ableitung noch nicht erreicht sein); sobald grad f^(n-1)=0 haben wir dann also unsere n-te ableitung nehmen also nun das vereinfachte polynom g=ax^n, dass die gleiche n-te ableitung hat wie f (oben gesehen) [es gilt beim ableiten: p=ax^n, dann p'=a*n*x^{n-1} siehe also: es kommt beim durchlaufen der ableitungen jeweils die hochzahl als faktor nach vorne, nicht mehr nicht weniger (***); setze ich auch voraus] also beim durchlaufen der n ableitungen: die hochzahl ist danach 0, also wurden der reihe nach vor dem ableiten n,n-1,...,2,1 durchlaufen (der reihe nach folgt nach (*)) es wurden also genau diese als faktoren vorgezogen (also als gesamtfaktor n*(n-1)*...*2*1=n! achtung pünktchenbeweis *g*) a bleibt stehen und wir haben dann nach den ableitungen also den vorfaktor a*n! bewiesen. mfg jochen ps: vielleicht etwas gekünstelt und ganz sicher nicht leichter als eine induktion (wobei das auch an der übung liegt!), aber formal sollte es nicht falsch sein |
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| 20.08.2005, 22:24 | lear | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
quod erat demonstrandum,oder oper edei deixai wie der geplflegte mathematiker sagt! |
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| 20.08.2005, 22:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo lear ich empfehle dir trotzdem die induktion wie du siehst, hatte ich damit meine probleme in der formulierung und mit induktion ist es ziemlich simpel. das war nur, weil ich MSS zeigen wollte, dass es auch ohne induktion geht @mss: so ähnlich war mein gedanke, als ich oben meinte, ich würde da nicht an induktion denken aber gedanken ("ist doch so logisch") und ausführung sind eben nicht immer gleich; hier war mein gedanke "simpel", aber die ausführung war es nicht |
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| 20.08.2005, 23:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@LOED Ich denke, Induktion ist so oder so nötig. Du machst es nur so, dass du eine bekannte Aussage benutzt, die du eigentlich mit Induktion beweisen müsstest. Ob dann so oder direkt Induktion ist dann natürlich egal. Bei deinen Überlegungen sind mglw. mehrere Dinge, die du vll mit Induktion beweisen müsstest. Bei einem bin ich mir aber sicher:
Sicher ist das supertrivial, aber dennoch muss man es mMn mit Induktion beweisen. Die von lear zu beweisende Aussage ist ja ebenso trivial, aber auch sie muss mit Induktion bewiesen werden und letztendlich ist der Induktionsschritt der gleiche. Gruß MSS |
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| 20.08.2005, 23:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
huhu max dass es mit induktion leichter ist habe ich schon gesagt vielleicht möchte ich mich dennoch zu deiner aussage noch einmal äußern:
das zweite ist eine folgerung aus dem ersten (der grund für diese zwar folgerung ähnelt dem induktionsprinzip), die nicht bewiesen werden muss. "wenn ich bumm sage, ziehe ich 1 von einer zahl ab." =>"wenn ich also k mal bumm sage, ziehe ich k ab." muss man wirklich durch induktion zeigen, dass (((((X-1)-1)-1)-1)....)-1 = X-k ist? (k mal -1)
nicht mit induktion zu zeigen: sei die hochzahl l<k, dann gilt nach l ableitungen: die hochzahl bei diesem term ist 0, d.h. das glied konstant, ab der l+1.ten ableitung steht und bleibt 0. ich gebe dir recht, dass das gemurkst ist und ich es (eigentlich *g*) niemals so machen würde, aber meine vorausgesetzten "Sätze" halte ich tatsächlich für anwendbar ohne beweis (ab einem gewissen grad des kenntnisstandes) mfg jochen und tschuldigung an lear, dass ich hier sein/ihr topic zuschreibe |
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| 20.08.2005, 23:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Siehst du die Pünktchen? 
Aber du hast Recht - wir sollten back to topic gehen. Gruß MSS |
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