Regel von Guldin zur Schwerpunktbestimmung

21.08.2005, 13:19

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Regel von Guldin zur Schwerpunktbestimmung

Ich hatte das hier schon mal reingeschrieben, aber nicht so wirklich ne antwort bekommen.

$\begin{eqnarray*} y_z:=\frac{\int_{-1}^{3}~\pi\cdot(x+1)^2\cdot e^{-2x}~dx}{2\cdot\pi\cdot\int_{-1}^{3}\cdot(x+1)\cdot e^{-x}~dx} \end{eqnarray*}$

da soll ich nun die koordinaten des Schwerpunktes Z bestimmen.

die y-koordinate des SChwerpunktes Z ist wie oben definiert und beträgt dann doch y=0,66

Bei der x-Koordinate gibt es ja das Problem, dass man nicht die Umkehrfunktion bilden kann und man daher über die 1.Ableitung das ganze bestimmen müsste.

für die x-Koordinate ergibt sich dann x=3,495

Kann das mal jemand nachrechnen und mir dann mein Ergebnis bestätigen, dass dann lautet:

Der SChwerpunkt ist Z(3,495|0,66).

Danke schon mal für die schnelle hilfe. ich möchte das dann nämlich auch mal abschließen, bevor ich mein STudium nächsten Monat beginne und diese aufgabe dann erst weihnachten beenden könnte.

gruß dennis

21.08.2005, 13:47

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Regel von Guldin zur Schwerpunktbestimmung

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} y_z:=\frac{\int_{-1}^{3}~\pi\cdot(x+1)^2\cdot e^{-2x}~dx}{2\cdot\pi\cdot\int_{-1}^{3}\cdot(x+1)\cdot e^{-x}~dx} \end{eqnarray*}$

[...]

die y-koordinate des SChwerpunktes Z ist wie oben definiert und beträgt dann doch y=0,66

Ich kenne das Verfahren zwar überhaupt nicht, aber mein CAS sagt

$\begin{eqnarray*} y_z = \frac{e^2-41e^{-6}}{8e-40e^{-3}} \approx 0.3689 \end{eqnarray*}$ .

21.08.2005, 13:50

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Regel von Guldin zur Schwerpunktbestimmung
ist möglich, da ich evt. vergessen haben könnte das ganze durch 2 zu dividieren. werde das noch mal eben anchprüfen und dann in 2 stunden raportieren Big Laugh

Big Laugh

21.08.2005, 13:53

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

An einer Division durch 2 kann's wohl kaum liegen.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot0.3689=0.7378\not\approx0.66 \end{eqnarray*}$

21.08.2005, 14:17

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Regel von Guldin zur Schwerpunktbestimmung

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} y_z:=\frac{\int_{-1}^{3}~\pi\cdot(x+1)^2\cdot e^{-2x}~dx}{2\cdot\pi\cdot\int_{-1}^{3}\cdot(x+1)\cdot e^{-x}~dx} \end{eqnarray*}$

Wo ist hier eine Funktion? Wo eine Umkehrfunktion? Was müsstest Du denn Umkehren? Ich kenne das Verfahren auch nicht, aber wie bist Du denn nun auf die x Koordinate gekommen?

Ich finde auch Deine Schreibweise etwas sonderbar: Wie wär's mit:

$\begin{eqnarray*} y_z:=\frac{\int\limits_{-1}^{3}\left((x+1)^2\cdot \mathrm{e}^{-2x}\right)~\mathrm{d}x}{2\int\limits_{-1}^{3}\left((x+1)\cdot \mathrm{e}^{-x}\right)~\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$

EDIT: Deine Schreibweise ist nicht falsch, aber Klammersetzung empfiehlt sich doch auch bei Integralen!

21.08.2005, 15:01

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Regel von Guldin zur Schwerpunktbestimmung
@Frooke: du hast das Pi vergessen. ich hab es nur so abgeschrieben, wie es in meiner aufgabenstellung stand.

Meine Vorgehensweise:

Integration der funktion hier bezeichnet mit f(x):

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~f(x)~dx=\int_{-1}^{3}~(x+1)\cdot e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

damit ist eine Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3}~(x+1)\cdot e^{-x}~dx=[(x+2)\cdot (-e^{-x})]_{-1}^3 \end{eqnarray*}$

So und wenn ich das jetzt auf den Bruch übertrage, kann ich doch zuerst die beiden Terme hinter dem Integralzeichen kürzen, denn der Zähler ist doch nur quadriert und ist sonst identisch mit dem des Zählers?

Das Integral des nenners soll ich mit dem Simpson-Verfahren berechnen, wobei ich eine Einteilung in 4 teilintervalle vornehmen soll und sich somit der Wert 1,8811 ergibt.

die beiden Pi kürzen sich ja bei dem Bruch weg , genauso wie das Integral des nenners mit dem Quadrat des Zählers und somit steht da dann nur noch $\begin{eqnarray*} y_z:=\int_{-1}^{3}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ und eine Stammfunktion habe ich bereits. s.o teil dieses posts.

Anzeige

21.08.2005, 15:09

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Frooke
In diesem Fall brauchst du die Klammern nicht, weil es ein Produkt ist! Mit dem $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ wird ja auch nur multipliziert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei Summen wäre es nötig, siehe hier.

Gruß MSS

21.08.2005, 15:30

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

habich denn mit meinem vorangegangenen post Recht, dass dann da nur ncoh $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{3}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ steht?

weiß keiner mehr weiter?

21.08.2005, 16:36

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Frooke
In diesem Fall brauchst du die Klammern nicht, weil es ein Produkt ist! Mit dem $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ wird ja auch nur multipliziert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei Summen wäre es nötig, siehe hier.

Gruß MSS

Stimmt! Da hab ich geschlampt! Aber @brunsi: Ich hab das Pi nicht vergessen. Das kürzt sich ja weg (ist eine Konstante!).

21.08.2005, 16:42

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, blöde frage, aber kann man integrale auch wegkürzen?

edit: ich glaube das zwra nicht, aber vielleicht kann mich jemand dort belehren?

21.08.2005, 16:46

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Integrale vollkommen gleich sind, natürlich. Aber wenn du etwas in der Art

$\begin{eqnarray*} \frac{\int\limits_a^b~f(x)~\mathrm{d}x}{\int\limits_a^b~g(x)~\mathrm{d}x}=\int\limits_a^b~\frac{f(x)}{g(x)}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x)\neq g(x) \end{eqnarray*}$ meinst, natürlich auf keinen Fall!!

Gruß MSS

21.08.2005, 16:47

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sie genau gleich sind, ja: Also
$\begin{eqnarray*} \frac{\int f(x)~\mathrm{d}x}{\int f(x)~\mathrm{d}x}=1 \end{eqnarray*}$

Aber
$\begin{eqnarray*} \frac{\int f^2(x)~\mathrm{d}x}{\int f(x)~\mathrm{d}x}\not=\int f(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
weil
$\begin{eqnarray*} \int f^2(x)~\mathrm{d}x \not = \int f(x)~\mathrm{d}x \cdot \int f(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

EDIT: Eine Minute zu spät Big Laugh

Big Laugh

21.08.2005, 16:51

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann habe ich mcih bei meinen ergebnissen an diesem punkt etwas vertan.

danke euch Allen.

schönen tag noch.

21.08.2005, 20:58

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

so aber es kommt dann bei mir 0,48... raus, weil ich ja das Integral des Nenners mit dem Simpson-Verfahren mit einer Einteilung von 4 Teilintervallen berechnen sollte.

könnte das noch einmal einer nachrechnen bitte.

danke schön

21.08.2005, 21:19

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich doch schon. Auf vier gültige Ziffern lautet das Ergebnis immer noch 0,3689.

22.08.2005, 19:50

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldigt bitte. ich hab mich da etwas vertan. nicht das Integral des Nenners soll mit dem Simpson-Verfahren ermittelt werden, sondern das des Zähler.

für das habe ich dann nämlich 1,2207 auf 4 Nachkommastellen gerundet heraus und dann

für das Integral des Nenners ist eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} (e^{-x}(x+2) \end{eqnarray*}$ mit den entsprechenden Grenzen (hier nicht eingangegeben).

stimmt doch auch so weit

damit wäre dann der Wert des nennerintegrals ca. 2,4694 multipliziert mit dem Faktor 2 ungefähr 4,9388

also ergibt sich dann ungefähr ein y-Wert von 0,247. kann man das so nachvollziehen, was ich gemeint habe?

27.08.2005, 12:12

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

so ich hab da jetzt für den y-Wert auch 0,358... raus.

ich war einfach zu blöd das in den TR einzugeben Hammer

Hammer

!!

so und jetzt zum x-Wert:

dazu muss man ja den Weg über die 1.Ableitung gehen, weil die Umkehrfunktion hie rnihct gebildet werden kann, da das x im vorfaktor und im exponenten auftauscht.

deshalb ist die 1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-x\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

die Bestimmung der x-koordinate des schwerpunktes ist dann:

$\begin{eqnarray*} x_z:=\frac{\pi\cdot\int_{3}^{-1}~(x^2\cdot(-x\cdot e^{-x}))^2~dx}{2\cdot\pi\cdot\int_{3}^{-1}~(x^2\cdot(-x\cdot e^{-x})~dx} \end{eqnarray*}$

hoffe ich habe mich jetzt hei rnicht noch irgendwo verschrieben

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »