absolut konvergent

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21.08.2005, 14:24	Reinhold	Auf diesen Beitrag antworten »
absolut konvergent Was bedeutet es wenn eine Funktionenfolge absolut konvergiert? Geben sie ein Beispeil für eine Funktionenfolge an die absolut abr nicht gleichmäßig konvergiert. Also ich weiß leider gar nix dazu....
21.08.2005, 14:26	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz
21.08.2005, 14:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz hat eher mit Reihen zu tun als mit Funktionenfolgen. Vll lässt sich das irgendwie auf Funktionenreihen beziehen, mir ist aber eine solche Definition nicht bekannt. Kannst du vll mal etwas mehr sagen, worum es geht, wo du die Aufgabe her hast etc.? Vll kannst du uns ja auch das Dokument geben, wo die Aufgabe gestellt wurde?! Gruß MSS
21.08.2005, 14:33	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Argh, nicht richtig gelesen.
21.08.2005, 15:27	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.poschel.de/ana/pdf/ana-2-xtra+L.pdf 1.aufgabe
21.08.2005, 15:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bier17 Und wie ist die absolute Konvergenz einer Funktionenfolge definiert? Gruß MSS
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21.08.2005, 15:35	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
keine ahnung, dummerweise, seh ich das skript auch nirgends mehr uaf der homepage..... manche Professoren sind echte Helden. Arrgh, was soo ich jetzt machen??
21.08.2005, 15:44	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bier17 Bist du Reinhold? Ich hab mal das Skript gesucht und gefunden: http://www.poschel.de/ana/pdf/ana-2-kurzskript.pdf. Da steht die absolute Konvergenz nur im Zusammenhang mit Reihen drin. Wahrscheinlich ist der Aufgabe wohl auch eine Funktionenreihe gemeint. Gruß MSS
22.08.2005, 11:50	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo ok. Leider kann ich beimri das Skript nicht vergrößern und deshalb nicht richtig anschaun. ich vermute jetzt aber mal, dass die absolute Konvergenz dann die ist, die man von ganz "normalen" Reihen kennt. Leider kann ich jetzt immer noch kein Beispiel für eine Funktionenreihe angeben, die absolut aber nicht gleichmäßig konvergiert....
22.08.2005, 16:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es ganz einfache Beispiele, etwa $\begin{eqnarray} f_n(x)=\sum_{k=0}^n~\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ , betrachtet auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
22.08.2005, 18:57	dfgdfg	Auf diesen Beitrag antworten »
Das seh ich anders, dein $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ konvergiert gleichmässig MSS. Ich glaub nicht das es eine soche Funktionsfolge gibt wenn man sich mal das Kriterium von Weierstrass anguckt.
22.08.2005, 19:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die absolute Konvergenz ist nur eine punktweise Eigenschaft. Im Weierstraßschen Konvergenzkriterium wird aber eine gleichmäßige Eigenschaft vorausgesetzt, da reicht die punktweise Eigenschaft der absoluten Konvergenz nicht aus. Und ich bin mir ziemlich sicher, dass meine Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f_n) \end{eqnarray}$ nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^x \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ geht. Dazu braucht man nur einzusehen, dass $\begin{eqnarray} \\|f_n-f\\|_{\infty}=+\infty \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
22.08.2005, 20:31	dfgdfg	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, das verstehe ich nicht, heisst das ich hab hier mist verzapft? : Konvergenz von Funktionsreihen
22.08.2005, 20:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das denke ich. Zumal deine Schreibweise dort etwas komisch ist. Ich werd gleich mal dort antworten ... Gruß MSS
03.10.2005, 15:58	Reinhold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann jemand noch ein beispeil geben für ne funktionenreihe die gleichmäßig aber nicht absolut konvergent ist.
03.10.2005, 16:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch "normale" Reihen kann man als Funktionenreihen auffassen. Deshalb ein ganz triviales Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} f_n:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_n(x)=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ . Dann erfüllt $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~f_n(x) \end{eqnarray}$ deinen Wunsch. Gruß MSS
03.10.2005, 18:10	Reinhold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das konvergiert weil $\begin{eqnarray} \|\|\frac{(-1)^n}{n}-0\|\|_\infty \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ gilt??
03.10.2005, 18:12	Reinhold	Auf diesen Beitrag antworten »
uups das ist natürlich Quatsch, hab das Summenzeichen vergessen und der Grenzwert ist natürlich auch ein anderer............
03.10.2005, 18:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das konvergiert gleichmäßig, da $\begin{eqnarray} s_n(x):=\sum_{k=1}^n~f_k(x) \end{eqnarray}$ eine konstante Funktion ist für jedes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Und eine Folge konstanter Funktionen konvergiert natürlich genau dann gleichmäßig, wenn sie punktweise konvergiert und das gilt wiederum schon genau dann, wenn sie in einem Punkt konvergiert. Gruß MSS

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