Komplexe Zahlen und Ungleichungen

11.02.2008, 16:20

The_Unknown

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Komplexe Zahlen und Ungleichungen

Hallo,

ich soll von diesen beiden Ungleichungen den Wahrheitswert bestimmen:
$\begin{eqnarray*} sin\alpha \leq \mid e^{i\alpha } \mid \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (i+2)^2>0 \end{eqnarray*}$

Bei der ersten habe ich einfach Wete von 0..2 pi eingesetzt und es hat immer gklappt. Aber eine richtige Beweisführung ist das ja nicht. Wie beweise ich so etwas richtig ?

Bei der zweiten habe ich einfach das Binom (i+2)² aufgelöst und bin auf i²+4i+4 gekommen, und da i²=-1 komme ich auf 3+4i, was auf der Gauß'schen Zahlenebene über y=0 liegt und damit eigentlich größer als 0 sein sollte. In der Lösung steht aber, die Aussage sei falsch.

Könnt ihr mir da helfen ?

Ciao The_Unknown

11.02.2008, 16:31

tmo

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auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist keine Ordnung definiert, die mit den Anordnungsaxiomen konform ist, weswegen die ungleichung 2 sinnlos ist.

bei der ersten ungleichung ist die frage, was du verwenden darfst. mit $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin x \leq 1 \end{eqnarray*}$ (wobei letzteres sogar aus ersterem folgt) ist das schnell gezeigt.

11.02.2008, 17:11

The_Unknown

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Zitat:

Original von tmo
Anordnungsaxiomen

Sind das die Binome ?

Zitat:

[...] mit $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin x \leq 1 \end{eqnarray*}$ (wobei letzteres sogar aus ersterem folgt) ist das schnell gezeigt.

In wieweit hilft mir die erste Gleichung ? Könntest du das etwas erklären, bitte ?

11.02.2008, 17:46

system-agent

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Die Anordnungsaxiome sind diejenigen Forderungen die erfüllt sein müssen, damit man eine Ordnung im Sinne von " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ " bekommt wie du das von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kennst.

Ihr habt doch sicherlich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|=1 \end{eqnarray*}$ . Nun wie ist denn der Betrag vom Sinus für reelle Werte?

11.02.2008, 18:04

The_Unknown

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Zitat:

Original von system-agent
Ihr habt doch sicherlich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|=1 \end{eqnarray*}$ . Nun wie ist denn der Betrag vom Sinus für reelle Werte?

Ds haben wir nicht gezeigt und im Tafelwerk stehts auch net. Mhm. Stimmt das denn, egal, was ich für alpha einsetze ? Eigentlich nicht, da, wenn ich zB. 0,5pi einsetze, i herauskommt und nicht 1:
$\begin{eqnarray*} |e^{i*0,5*\pi}|=i \end{eqnarray*}$
Was der "Betrag vom Sinus für reelle Werte" ist, mhm. Weiß nicht genau.

Falls, ich irgendwie Mist erzählt haben sollte, mit den Polarkorrdinaten haben wir nur gerade so angefangen, also noch nichts vertiefendes gehabt.

11.02.2008, 18:09

tmo

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$\begin{eqnarray*} |e^{i \alpha}| = |\cos \alpha + i \sin \alpha| = ... \end{eqnarray*}$

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11.02.2008, 18:11

system-agent

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Das stimmt schon, denn $\begin{eqnarray*} |e^{i\cdot0.5\cdot\pi}|=|i|=1 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} |e^{iz}|=1 \end{eqnarray*}$ ist richtig für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

11.02.2008, 18:25

The_Unknown

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OK.Soweit so gut. Aber irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
Nun wäre ich also bei folgender Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha ) \leq |cos(\alpha)+i*sin(\alpha)| \end{eqnarray*}$

Was würde man da denn machen ? Ausklammern geht nicht. Eine Ersetzung von sin x macht auch nicht viel Sinn (Wenn man die Ungleichung quadrieren würde, könnte man ja sin²x+cos²x=1 entsprechend einsetzen).

11.02.2008, 18:25

tmo

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wie ist denn $\begin{eqnarray*} |a+bi| \end{eqnarray*}$ definiert?

11.02.2008, 18:30

The_Unknown

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} =r=|a+bi| \end{eqnarray*}$
Und nun ? unglücklich

unglücklich

11.02.2008, 18:32

tmo

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$\begin{eqnarray*} a = \cos \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \sin \alpha \end{eqnarray*}$ einsetzen verwirrt

verwirrt

11.02.2008, 18:34

system-agent

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Zitat:

Original von The_Unknown

Nun wäre ich also bei folgender Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha ) \leq |cos(\alpha)+i*sin(\alpha)| \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung hast du noch nicht, denn das ist ja gerade die Behauptung.

@tmo:
Nutze doch lieber
$\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} |a+ib|^2=a^2+b^2=(a+ib)(a-ib) \end{eqnarray*}$

11.02.2008, 18:37

The_Unknown

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Und inwiefern nutzt mir dieses Binom nun in obiger Ungleichung weiter ?
sin x <= (x+iy)(x-iy)

11.02.2008, 18:37

tmo

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} a = \cos \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \sin \alpha \end{eqnarray*}$ einsetzen verwirrt

verwirrt

du willst mir nicht "zuhören", oder? unglücklich

unglücklich

11.02.2008, 18:52

The_Unknown

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Doch, na klar. Ich muss das nur erstmal schlucken. Wie gesagt, ist noch neu und ungewohnt.

Nur mir ist absolut unklar, wieso ich für a cos phi und für b sin phi einsetzen soll ??? Wenn schon, dann müsste ich doch für b i*sin phi einsetzen, oder ?? die y-Korrdinate in der Gauß'schen Zahlenebene ist doch definiert durch i*sin phi, oder nicht ?

11.02.2008, 18:59

system-agent

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$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind doch schon die Koordinaten. Aber du denkst viel zu kompliziert. Ersetze einfach mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ und dann schau nochmal genau hin (Betrag...)

11.02.2008, 19:16

The_Unknown

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OK. Ich denke, so langsam bewegt sich der Groschen Richtung Erde Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur bekomme ich bei meiner Rechnung (siehe Anhang) nun eine falsche Aussage, obwohl das ganze eigentlich wahr sein sollte unglücklich

unglücklich

11.02.2008, 19:18

system-agent

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Das ist ja auch unsinn. Du sollst durch Abschätzen von der einen Seite der Ungleichung zur anderen kommen.

Setze also an:
$\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|=|\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)|^2=... \end{eqnarray*}$

Nun die angesprochenen Eigenschaften des Betrages verwenden.

Edit:
Unsinn ist vielleicht zu viel gesagt, aber du hast $\begin{eqnarray*} 0\leq\cos^2(\alpha) \end{eqnarray*}$ und das ist ja richtig für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

11.02.2008, 19:27

The_Unknown

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Danke erstmal bis hierhin. Ich weiß das zu würdigen smile

smile

$\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|=|\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)|^2=... \end{eqnarray*}$
Wo kommt denn hier das Quadrat her ??

Und warum ist cos²x >= 0 richtig für alle x€R und cos x >= Wurzel(0) nicht ?

11.02.2008, 19:33

system-agent

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Tut mir leid, das Quadrat kommt daher, weil ich eigentlich überall quadrieren wollte, also
$\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|^2=|\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)|^2=... \end{eqnarray*}$

Ganz einfach: Ein Quadrat einer reellen Zahl ist immer $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ nimmt alle Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ an, also insbesondere auch Werte die kleiner als Null sind.

11.02.2008, 19:36

The_Unknown

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Zitat:

Original von system-agent
Tut mir leid, das Quadrat kommt daher, weil ich eigentlich überall quadrieren wollte, also
$\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|^2=|\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)|^2=... \end{eqnarray*}$

Ach soo. Ich hab mich schon gewundert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Ganz einfach: Ein Quadrat einer reellen Zahl ist immer $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ nimmt alle Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ an, also insbesondere auch Werte die kleiner als Null sind.

Das ist mir schon klar, würde aber bedeuten, dass man bei Ungleichungen keine Wurzel auf beiden Seiten ziehen darf, oder ?

11.02.2008, 19:39

system-agent

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Darf man schon, wenn mans sorgfältig tut:
$\begin{eqnarray*} \cos^2(x)\geq0 \end{eqnarray*}$
Nun durchwurzeln:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\cos^2(x)}\geq0 \end{eqnarray*}$
Und wenn man die Wurzel zieht ergibt sich ein Betrag:
$\begin{eqnarray*} |\cos(x)|\geq0 \end{eqnarray*}$

11.02.2008, 19:50

The_Unknown

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Ach so. Stimmt ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wie siehts eigentlich beim Quadrieren bei Ungleichungen aus ? Muss man da etwas beachten ? Ich habe irgendwo gelesen, dass sich da das Vergleichsszeichen auch schon mal ändert.

Nebenbei: Gibts in dem Forum hier eigentlich eine Möglichkeit, sich dauerhaft einzuloggen (also dass man sich nicht immer wieder neu einloggen muss, wenn man das Browserfenster schließt) ?

11.02.2008, 19:53

system-agent

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Hast du denn nun die Behauptung bewiesen? Falls ja schreibe doch bitte die Lösung für andere hier rein.

Zum Quadrieren:
$\begin{eqnarray*} -2<2 \end{eqnarray*}$
Nun quadriere mal...

11.02.2008, 20:01

The_Unknown

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OK. Hier nochmal die Lösung. Müsste so ausreichen für alle, die nicht gerade eine Doktorarbeit über Ungleichungen verfassen smile

smile

Und die andere Ungleichung ist falsch, da die Vergleichsoperationen <, >, <= und >= in C nicht definiert wurden.

Edit: Nochmal zum Quadrieren. Also darf man Ungleichungen nicht quadrieren oder wie ?
Edit2: Nochmal wegen dem Einloggen: Ist das normal, dass man hier immer automatisch ausgeloggt wird, wenn man den Browser schließt ?

11.02.2008, 20:05

system-agent

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Ich verstehe nicht wieso du nicht auf die Hilfesteller hörst:

tmo und ich sagten doch bereits, du sollst eine Kette aufstellen:

$\begin{eqnarray*} |e^{i\alpha}|^2=|\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)|^2=\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)\geq... \end{eqnarray*}$

Und nun die Monotonie der Wurzelfunktion benutzen, dann brauchst du nicht diese merkwürigen Ungleichungen auf deinem Zettel.

11.02.2008, 20:09

The_Unknown

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Dieses Beweisprinzip kenne ich gar nicht. (Kette)

Wir haben sowohl in der Schule als auch in der Uni Ungleichungen immer nur so gelöst wie Gleichungen, nur eben mit Bedacht auf den Vergleichsoperator.

So funktioniert es doch auch. Oder was ist an der Lösung schlecht ????

11.02.2008, 20:11

system-agent

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Das Wort Kette habe ich mich auch eben ausgedacht Big Laugh

Big Laugh

Was daran nicht schön ist? Einerseits ist es nicht so schön direkt und andererseits: Du hast ja nun schon selbst die Problematik beim quadrieren angesprochen.
Wer garantiert dir dass bei dem Quadrieren nichts schief geht?

11.02.2008, 20:15

The_Unknown

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Mhm, hast schon recht, aber dieses Prinzip kenne ich echt nicht.

Nur kann man denn allgemein etwas über den Einsatz von Wurzelziehen und Quadrieren sagen ?

11.02.2008, 20:16

system-agent

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Ja, es ist keine Äquivalenzumformung. Schon bei Gleichungen muss man untersuchen ob keine Lösungen dazugekommen sind und Ähnliches. Aber diese Diskussion ist Schulmathematik. Ansonsten schau dir nochmals den Wikipedia Artikel bzgl Wurzeln und Quadrieren an, da steht sicher was drin.

11.02.2008, 20:18

The_Unknown

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OK. Danke für die Hilfe. Obwohl ich bezweifle, dass das Schulmathematik (zumindest nicht in meiner Schule smile

smile

) ist, da hatten wie Ungleichungen vielleicht bis 1<x<3 oder so ...

11.02.2008, 20:22

system-agent

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So als kleine Anmerkung.
Du schriebst oben dass du auf deine Weise immer Ungleichungen gelöst hast. Da liegt die Betonung auf gelöst, also nach Werten gesucht für welche die Ungleichung erfüllt ist.

Hier dagegen sollst du das aber nicht lösen sondern beweisen, dass diese Ungleichung überhaupt gilt...
Aber diese Bemerkung ist nicht wichtig.
Bei einem Beweis, wie man den auch immer macht, muss man jeden Schritt einwandfrei begründen können. Beim quadrieren kannst du mir aber nicht garantieren dass nichts schiefgeht. Ergo ist das nicht gut.

11.02.2008, 20:26

The_Unknown

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OK. Aber ich denke, soweit reicht das für mein Studium. Ich glaube, die Korrektoren sind froh, wenn überhaupt etwas dasteht Augenzwinkern

Augenzwinkern

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