Induktion: n^3>3n+3 für n=>3

11.02.2008, 17:36

PimpWizkid

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Induktion: n^3>3n+3 für n=>3

Hallo Leute,
ich mache in meinen Semesterferien ein Analysis-Tutorium mit und sollte da heute per Induktion folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n^{3}>3n+3 \end{eqnarray*}$

Ich hab dann so angefangen:

1. Induktionsanfang n=3
zz: $\begin{eqnarray*} 3^{3}>3\cdot3+3 \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} 3^{3}=27>12=9+3=3\cdot3+3 \end{eqnarray*}$

2. Induktionsschritt n => n+1
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} n^{3}>3n+3 \end{eqnarray*}$
zz: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{3}>3(n+1)+3 \end{eqnarray*}$
Beweis: (so, und nu, wenns eigntlich losgehen sollte bekomm ich da nix hin was zu irgendwas sinnigem führen könnte)

Könnt ihr mich in die richtige Richtung schubsen?

Gruß,
PimpWizkid

11.02.2008, 17:40

system-agent

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$\begin{eqnarray*} (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$
und nun die Voraussetzung benutzen.

11.02.2008, 17:42

InSaNo

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Als Indukiontsvoraussetzung hast du $\begin{eqnarray*} n^3 > 3n + 3 \end{eqnarray*}$
Wenn Du links ausmultiplizierst solltest Du das auch verwenden können.
EDIT zu langsam hehe

11.02.2008, 17:50

Rare676

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Nebenbei gefragt:

Wäre es auch eine Möglichkeit von der Voraussetzung auszugehen und dann geschickt zu addieren?! Weiß nicht ob das so verständlich ist:

$\begin{eqnarray*} n^3>3n+3 \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man doch so addieren, dass man links $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ bekommt und rechts etwas basteln und die Behauptung folgern.

Oder dreh ich mich so im Kreis?

11.02.2008, 17:56

system-agent

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Bis du das ganze Zeugs addiert hast, hast es auch gleich ausmultipliziert

11.02.2008, 18:00

Rare676

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Zitat:

Original von system-agent
Bis du das ganze Zeugs addiert hast, hast es auch gleich ausmultipliziert

Ja, ausmultiplizieren macht das ja auch keiner. Sowas sollte man dann schon kennen.
Aber schön, wenn es so auch gehen würden Augenzwinkern

Augenzwinkern

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11.02.2008, 18:03

PimpWizkid

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RE: Induktion: n^3>3n+3 für n=>3
also...

1. Induktionsanfang n=3
zz: $\begin{eqnarray*} 3^{3}>3\cdot3+3 \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} 3^{3}=27>12=9+3=3\cdot3+3 \end{eqnarray*}$

2. Induktionsschritt n => n+1
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} n^{3}>3n+3 \end{eqnarray*}$
zz: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{3}>3(n+1)+3 \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =n^{3}+3n^{2}+3n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} >3n+3+3n^{2}+3n+1 \end{eqnarray*}$ (nach Voraussetzung)
$\begin{eqnarray*} =3(n^{2}+3n)+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} >3(n+1)+3 \end{eqnarray*}$

Geht das so? Ich bin bei diesem Thema nämlich noch ziemlich unsicher...

Gruß,
PimpWizkid

11.02.2008, 18:08

system-agent

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@Rare:
Das geht aber nur wenn man im Vorraus schon weiss dass die Behauptung stimmt, ansonsten kannst du leicht falsches "Beweisen".

@PimpWizkid

Das ist OK so.
Du kannst einfach das was du brauchst zusammennehmen und den Rest weglassen, den das was du weglässt ist sicher positiv, soll heissen einfach schreiben:
$\begin{eqnarray*} ...>3n+3+3n^2+3n+1=3\cdot(n+1)+1+3n^2+3n \end{eqnarray*}$
Nun ist für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ sicherlich $\begin{eqnarray*} 3n^2+3n\geq2 \end{eqnarray*}$
Und dann darfst du die Behauptung hinschreiben.

11.02.2008, 18:14

AD

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Es ist ein Jammer, was sich Aufgabensteller immer für Beispiele für Induktion ausdenken:

Schaut man sich den Induktionsschritt näher an, dann wird dort eine Abschätzungstechnik verwendet, die man in ähnlicher Komplexität auch gleich in einem direkten Beweis (d.h. ohne Induktion) verwenden könnte:

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n^2\geq 9 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} n^3 = n^2\cdot n \geq 9n = 3n+6n \geq 3n + 18 > 3n+3 \end{eqnarray*}$ .

Wozu dann also hier Induktion, wenn der Induktionsschritt um keinen Deut einfacher ist als diese Abschätzung? Das dürften und sollten auch sich aufgeweckte Schüler fragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das bitte nicht als Kritik an dir, PimpWizkid, oder anderen hier verstehen: Wenn Induktion gefordert ist, dann sollen sie sie eben haben... smile

smile

11.02.2008, 18:17

PimpWizkid

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Super, danke euch!

und @ Arthur Dent: Du hast sicherlich recht, keine Frage... aber "soviel" mathematisches Gespür hab ich dafür noch nicht entwickelt, glaub ich oder ich bin einfach noch nicht aufgeweckt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich werd den Tutor aber morgen bestimmt mal 'drauf ansprechen Lehrer

Lehrer

11.02.2008, 19:38

PimpWizkid

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Hab da noch so eine Aufgabe gefunden... ich versuch mal ob hier noch jemand dazu antwortet bevor ich nen neuen Thread aufmache...

Also die per Induktion zu beweisende Aussage ist:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n^{2}\leq2^{n} \end{eqnarray*}$

1. Induktionsanfang n=4
zz: $\begin{eqnarray*} 4^{2}\leq2^{4} \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} 4^{2}=16\leq16=2^{4} \end{eqnarray*}$

2. Induktionsschritt n => n+1
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} n^{2}\leq2^{n} \end{eqnarray*}$
zz: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}\leq 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq 2^{n}+2n+1 \end{eqnarray*}$ (nach Voraussetzung)
Ja und jetzt steh ich irgendwie aufm Schlauch oder ich bin grad total blind. Bzw. ich glaub eher, dass ich hier den Weg aus der vorherigen Aufgabe gar nich nehmen kann...

Habt ihr ne Idee für mich?

11.02.2008, 19:41

system-agent

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Andersherum geht die Induktion leichter, also gehe von
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ aus.

11.02.2008, 19:42

AD

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(zu spät)

11.02.2008, 19:55

PimpWizkid

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Soll ich, wenn ich anders herum anfange, den selben Weg wie in der vorherigen Aufgabe nehmen?

dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 2^{n} \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ und dann komm ich net weiter

oder ich machs so...
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ und auch hier keinen Plan

11.02.2008, 19:58

system-agent

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Nimm den zweiten Weg, also
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^n\cdot2 \end{eqnarray*}$
Was weisst du denn nach Voraussetzung über $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ?

11.02.2008, 20:05

PimpWizkid

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$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^{n} \cdot 2 \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ aber jetzt ist $\begin{eqnarray*} n^{2} < (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ und die Ungleichungskette funktioniert nicht... oder muss ich mit dem Faktor 2 noch was machen?

11.02.2008, 20:10

system-agent

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Die 2 lass stehen. Dann stehen da $\begin{eqnarray*} 2n^2=n^2+n^2 \end{eqnarray*}$
Du willst auf $\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ kommen. Was fällt denn bezüglich der Grösse von $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ auf?

11.02.2008, 20:13

PimpWizkid

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ahhh... dann ist $\begin{eqnarray*} n^{2}>2n+1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2n^{2} > (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ ? *hoff*

11.02.2008, 20:14

system-agent

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Ganz genau, aber schreib lieber ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ hin und ab welchem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ das gilt Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2008, 20:21

PimpWizkid

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Also noch ein "für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ " darein und feddich is die kiste! Danke dir für deine Mühe, hilft mir hier echt weiter!

Gruß,
PimpWizkid

11.02.2008, 20:25

system-agent

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Schau mal an deinen Induktionsanfang. Da war sowieso schon $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ , also nimmst du im Induktionsschritt auch $\begin{eqnarray*} n\geq4 \end{eqnarray*}$ an, das heisst die Abschätzung macht keine Probleme.
Nur erwähnen muss man das smile

smile

11.02.2008, 20:46

PimpWizkid

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Ok, dann möchte ich hier den abschließenden Test machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} n\geq3:2n+1\leq2^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2\cdot 2^{n} \end{eqnarray*}$ (nach Voraussetzung)
$\begin{eqnarray*} \geq 2(2n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4n+2 \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} n\geq3 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

11.02.2008, 20:55

system-agent

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Kann man lassen Freude

Freude

11.02.2008, 20:59

PimpWizkid

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Tanzen

Danke!

Augenzwinkern

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