Ungleichungen

11.02.2008, 20:43

Erol

Ungleichungen

Hallo.

Mir geht es ums prinzipielle Verfahren mit Ungleichungen.

Ich habe bspw.:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-1} \geq x \end{eqnarray*}$

Ich will alle x finden, die die Ungleichung erfüllen.

Also muss ich 2 Fällte unterscheiden (damit x - 1 nicht null ?!).

1.Fall: x < 1
2.Fall x > 1

Aber nu weiß ich nicht so recht weiter, was meine Einschränkungen für x bedeuten, sprich, wie ich dadurch auf die Lösung komme.

11.02.2008, 20:45

kiste

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Naja du willst jetzt die Ungleichung mit (x-1) durchmultiplizieren, dazu musst du beachten wann der Term negativ ist(dann ändert sich das Relationszeichen)

11.02.2008, 20:45

system-agent

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Was passiert denn wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst? Also beispielsweise
$\begin{eqnarray*} -2<2 \end{eqnarray*}$ wird mit $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ multipliziert, was passiert dann?

Genau das gleiche passiert bei deiner Ungleichung wenn $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ ist.

Edit:
Zu langsam smile

11.02.2008, 20:46

Rare676

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Falls du bei Ungleichungen mit etwas negativem multiplizierst, dann ändert sie das Ungleichheitszeichen Augenzwinkern

Edit: zu spät

11.02.2008, 21:05

Erol

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Oh, das ging wirklich schnell!

Okay, x - 1 ist negativ für x < 1. Das Relationszeichen ändert sich also, aber das MINUS verschwindet dann auf der rechten Seite oder muss ich es mitnehmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3 + x}{x - 1} \geq x | * (x-1) \end{eqnarray*}$ ohne MINUS aber wissend, dass es negativ ist oder

$\begin{eqnarray*} \frac{3 + x}{x - 1} \geq x | * -(x-1) \end{eqnarray*}$ ?

Ist mein Zwischenergebnis dann

$\begin{eqnarray*} 3 + x \leq x(x-1) oder eben \leq x(-(x-1)) \end{eqnarray*}$ ?

Ich gehe mal vom ersten aus.

Dann hab ich ja

$\begin{eqnarray*} 3 + x \leq x^{2} + x \end{eqnarray*}$

Und nun?

Noch umstellen? -x auf beiden Seiten:

$\begin{eqnarray*} 3 \leq x^{2} \end{eqnarray*}$

Ich glaub das sieht nicht gut aus :S

11.02.2008, 21:24

kiste

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Welches Minus auf der rechten Seite?
Deine beiden Fälle sind je nach x richtig.

Gehe doch einmal systematisch vor:
Sei x < 1 -> (x-1) < 0 also:
$\begin{eqnarray*} \frac{3+x}{x-1} \geq x \Leftrightarrow 3+x \leq x\cdot (x-1) \end{eqnarray*}$ .

Gehe analog für den zweiten Fall vor

11.02.2008, 21:37

Erol

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Das Resultat habe ich doch auch.

Für x > 1 ergibt sich ja dann:

$\begin{eqnarray*} x + 3 \geq x(x - 1) \end{eqnarray*}$

Das ändert jedoch nichts an der Tatsache, dass ich nicht genau weiß, was ich nun machen muss.

11.02.2008, 21:48

kiste

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Ich habe nichts andere behauptet.

Zitat:

Deine beiden Fälle sind je nach x richtig.

.

Jetzt bringst du alles auf eine Seite und rechnest die Nullstellen der entstehenden quadratischen "Ungleichung" aus. Dann schaust du in welchen Bereichen(die von den Nullstellen abgegrenzt werden) die Ungleichung wahr ist

11.02.2008, 22:07

Erol

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Okay, ich bekomme dann für die Nullstellen etwas mit Wurzel 3 raus.

Aber: Meine Musterlösung ohne Rechenweg lautet (und das versteh ich nicht):

Für x < 1

$\begin{eqnarray*} x + 3 \leq x(x-1) <=> (x-1)^{2} \geq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 3 \end{eqnarray*}$

11.02.2008, 22:26

Erol

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Stopp! Hab mich vertan...sollte es nun alleine schaffen. Danke!

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