(Produktions-)funktion erstellen

11.02.2008, 20:40

Fla

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(Produktions-)funktion erstellen

Guten Tag,

ich habe extreme Probleme beim lösen folgender Aufgabe:

"Einer der wichtigsten Nährstoffe für Pflanzen ist Stickstoff (N). Er wird den Pflanzen (neben dem schon im Boden vorhandenen Stickstoff) in der Form von Dünger zugegeben. Man fand heraus, dass der zusätzliche Getreideertrag f(x) (in 100 kg/ha) aufgrund der Zugabe von Stickstoffdünger x (in kg/ha) näherungsweise beschrieben werden kann durch eine Funktion f der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a*x}{x²+b} , x\geq 0. \end{eqnarray*}$

Für f gilt dabei f(100)=25 und f(600)=20.
a) Bestimmen Sie a und b; runden Sie die Ergebnisse auf natürliche Zahlen.
b) Skizzieren Sie den Graphen von f und berechnen Sie die optimale Düngerzugabe.

Ich habe schon zahlreiche Versuche gestartet, aber irgendwie kommt bei mir immer eine gerade raus. Allerdings würde dann doch Aufgabe b) keinen Sinn machen. Oder steht diese Aufgabe falsch im Buch? Wäre nett, wenn ihr eure Meinung sagt, oder mich eines bessere belehrt, durch Ansätze. Ich benötige die Aufgabe für meine Facharbeit.
Oder noch eine andere Möglichkeit: Wenn ihr eine gebrochenrationale Produktionsfunktion habt, bzw. eine Produktionsaufgabe mit gebrochenrationaler Funktion, dann schreibt sie mir doch bitte. Diese ist die einzige, die ich gefunden habe.

Liebe Grüße
Matthias

11.02.2008, 21:28

storm0704

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Nein, das ergibt keine Gerade.
Ich verstehe jetzt nicht ganz, wo dein Problem überhaupt ist. Daher:
Aufgabe a) Das läuft auf ein Gleichungssystem heraus, für das du genug Angaben hast.
Aufgabe b) Wie würdest du denn vorgehen, um "Optimalpunkte" ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) zu finden ? smile

smile

12.02.2008, 11:31

Fla

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Gut, schön zu hören, dass ich einen Fehler mache, weil die Funktion sich sehr geeignet anhört. Ich stelle mal meine Rechnung dar.

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} 25=\frac{100a}{(100)²+b} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 20=\frac{600a}{(600)²+b} \end{eqnarray*}$

Oder muss vorher schon irgendwie beachtet werden, dass f(x) den Getreideertrag in 100 kg/ha angibt?

Dann habe ich wie folgt gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 25=\frac{100a}{(100)²+b} |*(N(x)\Rightarrow 25((100)²+b)=100a |/100 \Rightarrow 2500+b=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20=\frac{600a}{(600)²+b} |*(N(x)\Rightarrow 20((600)²+b)=600a \end{eqnarray*}$

So und jetzt fällt mir auf, dass, wenn ich "a" in die zweite Gleichung einsetze, sich b aufhebt.
Ich verzweifle, was mache ich bloß falsch?
Gib mir mal bitte einen Tipp, dann versuche ich es weiter.

Die Optimalpunkte kann ich z.B. ermitteln, indem ich den Hochpunkt errechne, oder nicht?!

12.02.2008, 11:35

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 25=\frac{100a}{(100)²+b} |*(N(x)\Rightarrow 25((100)²+b)=100a |/100 \Rightarrow 2500+b=a \end{eqnarray*}$

Du hast hier am Ende falsch durch 100 dividiert

12.02.2008, 12:12

Fla

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Ja, Mist, da habe ich mich vertippt.

Also:

Nach dem dividieren durch 100 habe ich jetzt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} a= 2500+\frac{1}{4} b \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis setze ich nun in die andere Gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} 12000+20b=2500+\frac{1}{4} b \end{eqnarray*}$

Und jetzt stelle ich nach "b" um?!

$\begin{eqnarray*} 12000+20b=2500+\frac{1}{4} b | -2500 |-20b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -19,75b=9500 |/-19,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-481 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig, ansonsten kann ich ja gleich aufhören, weil weiter kommt bei mir wieder nicht gescheites raus.

Jetzt muss ich b in eine der Ausgangsfunktionen einsetzen, oder?!

12.02.2008, 12:13

storm0704

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Zitat:

Original von Fla
Oder muss vorher schon irgendwie beachtet werden, dass f(x) den Getreideertrag in 100 kg/ha angibt?

Nein, du musst es nur hinterher multiplizieren mit dem Faktor 100*kg/ha.

Zitat:

Dann habe ich wie folgt gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 25=\frac{100a}{(100)²+b} |*(N(x)\Rightarrow 25((100)²+b)=100a |/100 \Rightarrow 2500+b=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Die Optimalpunkte kann ich z.B. ermitteln, indem ich den Hochpunkt errechne, oder nicht?!

Nicht nur zum Beispiel, du musst es sogar so machen smile

smile

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12.02.2008, 12:15

Bjoern1982

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Ist leider falsch....du musst halt richtig einsetzen.

12.02.2008, 12:15

storm0704

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Zitat:

Original von Fla

Bis hierhin richtig, ansonsten kann ich ja gleich aufhören, weil weiter kommt bei mir wieder nicht gescheites raus.

Jetzt muss ich b in eine der Ausgangsfunktionen einsetzen, oder?!

Ganz genau.

€dit: Oh, du hast Recht, Bjoern. Ich hatte gar nicht mehr auf die Ausgangsgleichung geguckt. *peinlich*

12.02.2008, 12:32

Fla

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Aber bis zum "durch 100 dividieren" war ich richtig!?
Jetzt muss ich richtig einsetzen, d.h. ich muss in die zweite Ausgangsgleichung einsetzen?

$\begin{eqnarray*} 20= \frac{600*(2500+(1/4)b}{(600)²+b} \end{eqnarray*}$

So?

Junge, Junge, zum Glück schreibe ich in Mathe meine Facharbeit!!! Big Laugh

Big Laugh

12.02.2008, 12:43

Bjoern1982

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Da fehlt noch eine Klammer...ansonsten richtig.

Nun könntest du die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren und nach b auflösen.

12.02.2008, 13:15

Fla

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Gut, das bedeutet nach dem Multiplizieren mit N(x)

$\begin{eqnarray*} 20*((600)²+b)=600*(2500+1/4b) \end{eqnarray*}$

das ergibt:

$\begin{eqnarray*} 7200000+20b=1500000+150b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |-20b |-1500000 \end{eqnarray*}$

das ergibt:

$\begin{eqnarray*} 130b=5700000 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |/130 \end{eqnarray*}$

Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} b=43846,1538 \Rightarrow gerundet 43846 \end{eqnarray*}$

Habe ich b richtig ermittelt? Die Zahl erscheint mir ziemlich "mächtig" ;-)

12.02.2008, 13:17

Bjoern1982

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Freude

12.02.2008, 13:29

Fla

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Okay, dann b eingesetzt in die 1 Ausgangsfunktion bedeutet

$\begin{eqnarray*} 25=\frac{100a}{(100)²+43846} \end{eqnarray*}$ |+N(x)

Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} 25*((100)²+43846)=100a \end{eqnarray*}$ |/100

Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} a=13461 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{13461x}{x²+43846} \end{eqnarray*}$ in meinen GTR eingebe, erscheint aber eine Gerade!?

12.02.2008, 13:33

Bjoern1982

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http://www.matheboard.de/plotter.php?f=%...00&y=-100%3A100

12.02.2008, 13:38

Fla

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Big Laugh

Oh, sry! Wie dumm von mir!!! Hammer

Hammer

Aber ein ganz großes Dankeschön an Euch! Was wäre ich ohne diese Forum!? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.02.2008, 13:35

Fla

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Guten Nachmittag,

ich habe nochmal eine Frage. Ist es möglich, von dieser Funktion den Grenzertrag auszurechnen? Ich bekomme da so ein seltsames Ergebnis und einen sehr seltsamen Graphen raus (nach meinem Empfinden)

Hier mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{13461x}{x²+43846} \end{eqnarray*}$

Grenzertragsfunktion f'(x) durch Quotionentenregel.
Hierfür notwendig
u=13461x
u'=13461
v=x²+43846
v'=2x

ergibt
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{13461*(x²+43846)-(13461x*(2x))}{(x²+43846)²} \end{eqnarray*}$
ergibt
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{13461x²+590211006-(26922x²)}{(x²+43846)²} \end{eqnarray*}$
ergibt
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-13461x²+590211006}{(x²+43846)²} \end{eqnarray*}$

Richtig???

20.02.2008, 13:38

Bjoern1982

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Joa die Ableitung stimmt auf jeden Fall - mit diesen Werten sind halt keine besonders ansehnlichen Funktionen machbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.02.2008, 15:15

storm0704

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Was meinst du genau mit Grenzertrag? Bestmöglicher Ertrag? Dann wieder Hochpunkte ausrechnen.
Ansonsten, was sich eher nach Grenze anhört, ist der limes für x gegen unendlich.

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