Differentialrechnung - Extremwert

22.08.2005, 17:36

poiz

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Differentialrechnung - Extremwert

Hallo!

Folgende Aufgabe:
Eine Tangente an die Parabel $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2} * (x - 3)^{2} \end{eqnarray*}$ begrenzt zusammen mit der x- und der y-Achse im 1.Quadranten ein Dreieck. Bestimmen sie die maximale Fläche, die ein solches Dreieck haben kann.

Ich bin wie folgt vorgegangen
$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{1}{2} * x * y \end{eqnarray*}$
(Flache des Dreiecks aus den Koordinaten der Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen)

Dann habe ich versucht, y durch x auszudrücken
Im Berührungspunkt ist ja die Ableitung gleich der Steigung der linearen Funktion(Tangente):
$\begin{eqnarray*} y' = x - 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = ax + b \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} v = (x-3)x + b \end{eqnarray*}$
Um noch b zu finden, müsste ich ja einen Schnittpunkt einsetzen. Mach ich dass für den Berührungspunkt, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} b = (x-5)(x-3)*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ was ja y entsprechen würde bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ aber nicht stimmt. Mein Ansatz bringt mich nicht wirklich weiter...

Von der Zielfunktion würde ich dann durch Ableiten nach x und auflösen nach Null die x-Koordinate bestimmen (Intervall 0 < x < 3)

any hints?

22.08.2005, 18:03

Sephiroth

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also wie ich die Aufgabe verstehe musst du ja deine Tangente kennen.

Stell mal deine Tangentengleichung auf allgemein:

g(x) = f`(x0) * (...... weißt du wie das geht?

dann ist y = g(0)

und aus g(x) = 0
folgt x = .....

und so hast du eine Flächen Funktion A(x0) = 1/2......

hope this helps

22.08.2005, 18:17

poiz

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Ich versteh leider nicht ganz was du meinst mit *Tangentengleichung* !?
Die lineare Funktion der Tangente (wie ich es versucht habe)?

Danke

22.08.2005, 18:25

dfgdfg

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du hast eigentlich alles richtig gemacht, nur mit deinem Berürungspunkt stimmt was nicht.
Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ dieser Punkt ist gilt ja gerade $\begin{eqnarray*} v(x_0)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung stellst du einfach nach b um.

22.08.2005, 18:40

Sephiroth

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ja jetzt verteh ich erst was du gemacht hast.
Sieht ja wirklich gar nicht verkehrt aus!

Es gibt eine allgemeine Form um die Tangentengleichung aufzustellen.
Wenn du also die Gleichung der Tangente g suchst an der Stelle x = x0
mit der Funktion f(x)

dann ist die Gleichung

g(x) = f`(x0) (x - x0) + f(x0)

dann ist y = g(0) = - f`(x0) + f(x0)

und für g(x) = 0
folgt x = x0 - [f(x0) / f`(x0) ]

was du gesagt hast ist auch nicht verkehrt wie ich das sehe

du suchst die Tangente g an der Stelle x = x0 mit der Funktion f(x)

also ist g(x) = ax + b

f`(x0) = a

jetzt brauchst du ja aber noch das b (glaube da liegt dein Problem)

du weißt g(x0) = f(x0)
weil an der Stelle x = x0 tangiert ja die Gerade g die Funktion f
also
g(x0) = f(x0) = ax0 + b
f(x0) = f`(x0) * x0 + b
b = f(x0) - f`(x0) * x0
also
g(x) = f`(x0) * x + f(x0) - f`(x0) * x0 = f`(x0) * x - f`(x0) * x0 + f(x0)
= f`(x0) (x - x0) + f(x0) vergleiche oben

du siehst viele Wege führen nach Rom
kannst du das auf deine Aufgabe übertragen?

22.08.2005, 19:02

knall0r

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öhm für x= x0 ist das dann aber A=1/2*x*f(x) ... das ist glaub ich nich richtig

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22.08.2005, 19:15

Sephiroth

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ja ich weiß ihre Notation ist etwas unglücklich gewählt mit A = 1/2*x*y

aber wenn ich für

x = x0 - [f(x0) / f`(x0) ]

einsetze und für

y = g(0) = - f`(x0) + f(x0)

dann passt das glaub ich schon verwirrt

verwirrt

22.08.2005, 19:17

poiz

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Zitat:

Original von Sephiroth

g(x) = f`(x0) * x + f(x0) - f`(x0) * x0 = f`(x0) * x - f`(x0) * x0 + f(x0)
= f`(x0) (x - x0) + f(x0) vergleiche oben

Ich habe folgendes erhalten:
$\begin{eqnarray*} g(x) = (x-3)x + \frac{1}{2}(x-3)^2 - (x-3)x \end{eqnarray*}$

Sieht doch der Form "deiner" ersten Gleichung sehr ähnlich verwirrt

verwirrt

Dann könnte ich dies doch einfach in meiner Zielfunktion für y einsetzen, also:
$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{1}{2} * (x-3)^2 * y \end{eqnarray*}$ .

[edit]ooops, dies ist nicht meine Zielfunktion :-) ....werds gleich nochmals rechnen[/edit]

Leider erhalte ich nach Ableitung und auflösen nach Null einen Wert von x=8/3, was wohl nicht stimmen kann wenn ich mir die Grafik anschaue...

So langsam hab ich ein (kleines) Durcheinander Hammer

Hammer

22.08.2005, 19:24

Knall0r

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schau dir mal g(x) genauer an ... das ist f(x) bissel aufgeblasen ...

22.08.2005, 19:26

Sephiroth

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nein das ist nicht richtig:

wo ist denn x0 hin verschwunden???

$\begin{eqnarray*} g(x) = (x-3)(x-x0) + \frac{1}{2} (x0-3)^{2} \end{eqnarray*}$

Beachte nun meinen Hinweis im vorherigen Post was in deiner Formel

A = 1/2 * x* y für x und für y steht!!!

du bekommst dann eine Funktion A(x0) =.....

also in Abhängigkeit von x0 welches du dann gerne wieder einfach der einfachhalthalber in x umbenennen kannst.

22.08.2005, 20:12

dfgdfg

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poiz deine Formel ist auf jeden Fall richtig, nur aufpassen das du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ vertauscht.
Die Tangentengleichung lautet also:

$\begin{eqnarray*} g(x) = (x_0-3)x+{1 \over 2}(x_0-3)^2-(x_0-3)x_0 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch die Abschnitte auf den Achsen (die Seiten des Dreiecks berechnen)
einen haben wir ja schon nämlich $\begin{eqnarray*} b = {1 \over 2}(x_0-3)^2-(x_0-3)x_0 \end{eqnarray*}$

den anderen bekommt man logischer weise durch $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

22.08.2005, 20:28

poiz

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@Sephiroth Wie du bereits erwähnt hast, ist meine Namensgebung etwas unglücklich....deshalb hab ich selbst ein Durcheinander mit x bzw. x0 gemacht.

Zitat:

Original von Sephiroth

wo ist denn x0 hin verschwunden???

$\begin{eqnarray*} g(x) = (x-3)(x-x0) + \frac{1}{2} (x0-3)^{2} \end{eqnarray*}$

Ist es nicht $\begin{eqnarray*} g(x) = (x0-3)(x-x0) + \frac{1}{2} (x0-3)^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Du hast 3 Postings vorher geschrieben:
>g(x) = f`(x0) (x - x0) + f(x0)
>dann ist y = g(0) = - f`(x0) + f(x0)

Fehlt denn da jetzt nicht noch der Faktor x0??

Dann für $\begin{eqnarray*} y = g(0) = - f'(x0) * x0 + f(x0) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f'(x0) = (x0 - 3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x0) = \frac{1}{2} (x-3)^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y = -(x0-3)*x0 + f(x0) = \frac{1}{2} (x-3)^2 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} x = x0 - \frac{f(x0)}{ f'(x0)} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x = \frac{x0 + 3}{2} \end{eqnarray*}$
Buschmann

Buschmann

Buschmann

Buschmann

Das Resultat stimmt aber noch immer nicht....

22.08.2005, 20:39

dfgdfg

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warum nicht?

$\begin{eqnarray*} x={1\over 2}x_0+{3\over 2} \end{eqnarray*}$

ist richtig.

Zum Vergleich : die maximale Fläche ist 4.

22.08.2005, 20:52

poiz

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traurig

4 wäre richtig...

Jetzt muss ich doch nur noch in die Zielfunktion einsetzen:

A(x0) = 1/2 * x * y

und nach x0 ableiten. Dies gibt mit meinen "Rechenkünsten":
$\begin{eqnarray*} A'(x0) = \frac{3(x-3)(x+1)}{8} \end{eqnarray*}$

Und schliesslich die Gleichung A'(x0) = 0 setzen.

Aber x0 = 3 bzw. -1 kann doch nicht stimmen....

Ich kann nicht mehr klar denken Hammer

Hammer

22.08.2005, 20:52

Sephiroth

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oh ja wie recht du hast mit g(x) = .....

Zitat: Fehlt denn da jetzt nicht noch der Faktor x0.

ohweija genau. Sieht man mal dass du es verstanden hast hehe..

y = - f`(x0) * x0 + f(x0)

aber rechne dein y nochmal nach bei dir ist momentan

y = f(x) das stimmt nicht.

y ist auf jeden Fall von x0 und nicht von x abhängig außerdem hast du dich verrechnet!

ja dein x ist aber richtig Sehr gut!

22.08.2005, 21:04

poiz

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ooops, ich hatte mich beim Latex-Coden vertippt...

Für y erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} y = {1 \over 2}(x_0-3)^2-(x_0-3)x_0 \end{eqnarray*}$

Aber wie ich bereits geschrieben habe...das Endresultat will nicht stimmen!

Ich sollte die Aufgabe besser morgen nochmals anschauen...und jetzt etwas anderes machen smile

smile

Vielen Dank aber für Eure Hilfe!!!

22.08.2005, 21:06

dfgdfg

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du hast irgenwo ein Vorzeichenfehler, die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} A'(x) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = -3 \end{eqnarray*}$

22.08.2005, 21:21

poiz

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smile

smile

Gott

smile

smile

Super, hat geklappt !! Vielen Dank für die Hilfe!!

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