Einige Verteilungsfragen

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papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
Einige Verteilungsfragen
Hallo zusammen,
ich bereite mich derzeit auf eine Stochastik-Klausur vor, und habe nun einige Fragen.

Gegeben sind die Dichtefunktionen der stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen . In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Dichtefunktion von durch (Faltung) gegeben ist.

Heute habe ich eine Übung folgender Art gesehen:
Gegeben sind die stoch. unabh. Zufallsgrößen .
. Soweit ich mich erinnere waren und die Dichtefunktion von gesucht. Soll man da wirklich ein neunfaches Integral hinschreiben, obwohl es nichtmal möglich ist, die Dichtefunktion der Normalverteilung geschlossen zu integrieren?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

E(Y) findest du doch über die linearität der erwartungswertbildung, oder nicht? verwirrt

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(aX)=aE(X)

das sollte doch auch bei stetig verteilten zufallsgrößen gelten?
[wenn nein, dann ignoriert das einfach oder Forum Kloppe mich]
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einige Verteilungsfragen
Zitat:
Original von papahuhn
Soll man da wirklich ein neunfaches Integral hinschreiben,

Nicht auf einmal, sondern nach und nach - am besten gleich für allgemeine n formulieren und über Induktion beweisen.

Zitat:
Original von papahuhn
obwohl es nichtmal möglich ist, die Dichtefunktion der Normalverteilung geschlossen zu integrieren?

Das ist kein Grund dafür, dass es hier nicht klappt!
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
E(Y) findest du doch über die linearität der erwartungswertbildung, oder nicht?


Stimmt, das hab ich ganz vergessen. Hab zuerst versucht die Dichtefunktion hinzubekommen um damit den Erwartungswert auszurechnen. Hammer

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von papahuhn
Soll man da wirklich ein neunfaches Integral hinschreiben,

Nicht auf einmal, sondern nach und nach - am besten gleich für allgemeine n formulieren und über Induktion beweisen.

Zitat:
Original von papahuhn
obwohl es nichtmal möglich ist, die Dichtefunktion der Normalverteilung geschlossen zu integrieren?

Das ist kein Grund dafür, dass es hier nicht klappt!


Ich habe die Summe nach und nach in Integrale umgewandelt, aber wenn ich das innerste Integral schon nicht auflösen kann, bleibt ein irres Wirrwarr von Integralzeichen und stehen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche doch, über die Faltung folgendes nachzuweisen:

Zitat:
Sind und unabhängige Zufallsgrößen, dann ist .


Das kannst du dann iterativ auf deine Summe anwenden.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte das ist mir zu hoch. Mir fehlen wohl die Grundlagen ein solch kompliziertes Integral aufzulösen.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So schlimm ist das Integral gar nicht - also nicht gleich aufgeben, sondern aufschreiben: Wenn wir berechnen wollen, ist es zunächst günstig, mit zu "zentrieren":

,

dabei wurde substituiert. Der Sinn dieses Zentrierens ist verminderte Schreibarbeit beim folgenden Einsetzen

.

Und jetzt ist der entscheidende Dreh, im Argumentterm der Exponentialfunktion eine quadratische Ergänzung bzgl. durchzuführen und anschließend auf der Grundlage des dann erhaltenen Ausdrucks dieses linear durch ein geeignetes zu substituieren, für das man das von der Normierung der Normalverteilung her bekannte Integral



nutzen kann.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich nehm das mal so hin, dass das funktioniert. Die gleiche Aussage ist weit hinten in unserem Skript versteckt, also muss ich es nicht selbst herleiten können. smile
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