beweisen: funktion in jedem punkt stetig

23.08.2005, 11:36

maximilli

beweisen: funktion in jedem punkt stetig

hallo, ich weiß nicht wie ich bei folgender aufgabe rangehn soll.

beweisen sie, dass die funktion

$\begin{eqnarray*} f:]0,\infty[\in x\mapsto \frac{1}{x^3} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

in jeden punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ stetig ist.

geben sie dazu zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ derat an,

dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in ]0,\infty [ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid x-x_0 \mid <\delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(x_o) \mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

23.08.2005, 13:40

quarague

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wie weit bist du denn schon gekommen?
an sich musst du nur den Term |f(x)-f(x0)| irgendwie abschätzen, dafür ist die Termumformung (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²) hilfreich (mit a=1/x und b=1/(x-\delta) )

23.08.2005, 22:46

maximilli

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ok, ich bin bis jetzt so weit

$\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(x_0) \mid =\mid \frac{1}{x^3}-\frac{1}{x_0^3} \mid = \mid \frac{x_0^3-x^3}{(xx_0)^3} \mid= \mid x-x_0 \mid *\mid \frac{x_0^2+xx_0+x^2}{(xx_0)^3} \mid<\epsilon \end{eqnarray*}$

und vorgegeben war ja, dass

$\begin{eqnarray*} \mid x-x_0 \mid<\delta \end{eqnarray*}$ ist.

23.08.2005, 23:13

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Die vorletzte Zeile ist unglücklich formuliert. In deinem ersten Beitrag steht es richtig: Das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist nicht vorgegeben, sondern soll - in Abhängigkeit vom tatsächlich vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - erst angegeben werden.

Kleiner Tipp: Für das anzugebende $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ kann man ohne weiteres $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ annehmen - ein kleineres $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ stört ja nicht. Diese Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ und vor allem das daraus folgende $\begin{eqnarray*} x > \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ hilft aber ungemein bei der Abschätzung deines Ausdrucks

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| \cdot \left| \frac{x_0^2+xx_0+x^2}{(xx_0)^3} \right| \end{eqnarray*}$

nach oben, als Funktion von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

24.08.2005, 00:55

maximilli

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ok mit dem $\begin{eqnarray*} x>\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt den nenner so abgeschätzt

$\begin{eqnarray*} (xx_0)^3>( \frac{x_0}{2}x_0)^3=\frac{1}{8}x_0^6 \end{eqnarray*}$

wie geh ich denn weiter vor?

p.s.: ich wäre glaub ich nie auf $\begin{eqnarray*} x>\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen.

24.08.2005, 11:51

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Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Zähler muss aber auch weg, deswegen hatte ich eher an sowas gedacht:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x_0^2+xx_0+x^2}{(xx_0)^3} \right| = \left| \frac{1}{x^3x_0}+\frac{1}{x^2x_0^2}+\frac{1}{xx_0^3} \right| \leq \left| \frac{8}{x_0^3x_0}+\frac{4}{x_0^2x_0^2}+\frac{2}{x_0x_0^3} \right| = \frac{14}{x_0^4} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| \cdot \left| \frac{x_0^2+xx_0+x^2}{(xx_0)^3} \right| \leq \delta\frac{14}{x_0^4} \end{eqnarray*}$

Und wenn jetzt der rechte Ausdruck kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ wird, dann haben wir so ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gefunden (hinreichende Bedingung).
Dieses $\begin{eqnarray*} \delta\frac{14}{x_0^4} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ergibt nach Umformung $\begin{eqnarray*} \delta < \varepsilon\frac{x_0^4}{14} \end{eqnarray*}$ und zusammen mit der obigen Bedingung formuliert man in geschlossener Form:

$\begin{eqnarray*} \delta < \min\left\{ \frac{x_0}{2}, \varepsilon\frac{x_0^4}{14} \right\} \end{eqnarray*}$

P.S.: Das mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht zwangsläufig, man hätte genauso gut $\begin{eqnarray*} \frac{x_0}{3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0.83758\cdot x_0 \end{eqnarray*}$ nehmen können - Hauptsache war, dass dadurch die in Frage kommenden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach unten durch einen echt positiven Wert abschätzbar waren.

26.08.2005, 00:07

domenik

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Hallo. Ich habe gerade ein bisschen hier rumgestöbert. Bin auf diese Aufgabe gestoßen und frage mich warum man $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ und wieso dann $\begin{eqnarray*} x>\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ ist. wie genau kommt man denn darauf?

26.08.2005, 09:15

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Die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist nur für die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, für die $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt. Letztere Ungleichung kann man nach Betragsauflösung auch als $\begin{eqnarray*} x_0-\delta < x < x_0+\delta \end{eqnarray*}$ schreiben. Unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ kann man die linke Seite nun nach unten abschätzen gemäß $\begin{eqnarray*} x_0-\delta > x_0-\frac{x_0}{2} = \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ . Insgesamt gilt dann also

$\begin{eqnarray*} x > x_0-\delta > \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ .

Und was überhaupt erstmal die Forderung $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ betrifft - das ist reine Willkür, wie ich oben schon geschrieben habe:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht zwangsläufig, man hätte genauso gut $\begin{eqnarray*} \frac{x_0}{3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0.83758\cdot x_0 \end{eqnarray*}$ nehmen können - Hauptsache war, dass dadurch die in Frage kommenden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach unten durch einen echt positiven Wert abschätzbar waren.

Aber warum auch nicht - schließlich kann ich das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so wählen, wie ich will - solange es nur positiv ist und anschließed die in der Stetigkeit formulierte Forderung

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$

auch tatsächlich erfüllt ist.

26.08.2005, 10:44

domenik

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habs jetzt auch eingesehn.

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