Monotonie von e^x

23.08.2005, 12:34

weitwegvomgenie

Monotonie von e^x

Hallihallo,
kann mir jemand mit einer Antwort zu einer kleinen Frage weiterhelfen?
Und zwar geht es um die Frage:

Warum ist e^x immer positiv und monoton steigend?

Vielen Dank im Voraus

23.08.2005, 13:09

therisen

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Hallo,
das kommt ganz darauf an, was du für Vorkenntnisse hast. Bist du Schüler oder Student?
Kennst du die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion? Damit lässt sich leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^{-x}=(e^{x})^{-1} \end{eqnarray*}$ und damit lässt sich dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^x>0 \end{eqnarray*}$ . Willst du die Beweise sehen oder reicht dir das?

EDIT: Die Frage ist natürlich auch, wie ihr $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ definiert habt! Wie denn?

Gruß, therisen

23.08.2005, 18:53

weitwegvomgenie

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monotonie von e^x
Super vielen Dank schonmal für die Antwort! Ich bin Studentin und habe jetzt bald die Zwischenprüfung. Deshalb wäre es toll, wenn Du mir vielleicht einen Beweis schicken könntest. Komme selber nämlich nicht drauf. Die Funktionalgleichung kenne ich und hatte auch schon daran gedacht, weiss nur nicht so richtig, wie ich sie einbringen soll. Über eine Lösung wäre ich Dir wirklich dankbar.
e^x haben wir als die Reihe(von n=0 bis unendlich) von x^n/n! definiert (ich komme mit dem Formeleditor nicht zurecht verwirrt

)

Wie gesagt, ich würde mich freuen, nocheinmal von Dir zu hören,

das weit-weg-vom-genie

23.08.2005, 21:58

therisen

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Hi,
dann wollen wir mal:

Lemma: $\begin{eqnarray*} e^{-x}=(e^{x})^{-1} \end{eqnarray*}$ für reelle x
Beweis: $\begin{eqnarray*} e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1 \end{eqnarray*}$

Korollar: $\begin{eqnarray*} e^x>0 \end{eqnarray*}$ für reelle x
Beweis: Für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+... \geq 1>0 \end{eqnarray*}$
Falls $\begin{eqnarray*} x<0 \Leftrightarrow -x>0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e^{-x}>0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} e^x=\frac{1}{e^{-x}}>0 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

24.08.2005, 00:26

JochenX

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Zitat:

Original von therisen
Lemma: $\begin{eqnarray*} e^{-x}=(e^{x})^{-1} \end{eqnarray*}$ für reelle x

muss man vestehen wieso du einfache potenzgesetze, die für alle basen gelten, hier für die basis e extra beweist? verwirrt

24.08.2005, 09:27

weitwegvomgenie

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Monotonie von e^x
Sorry, konnte erst heute morgen wieder antworten. Vielen Dank für den Beweis!! Hat mir bei meiner Lernerei gut weitergeholfen,

Gruß,
das Weit-weg-vom-Genie

24.08.2005, 09:37

Trazom

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von therisen
Lemma: $\begin{eqnarray*} e^{-x}=(e^{x})^{-1} \end{eqnarray*}$ für reelle x

muss man vestehen wieso du einfache potenzgesetze, die für alle basen gelten, hier für die basis e extra beweist? verwirrt

Alles was Du unter den "allgemeinen" Potenzgesetzen kennst, stammt nur von der e-Funktion nach der folgenden Definition.

$\begin{eqnarray*} a^b = e^{b \ln(a)} \end{eqnarray*}$

24.08.2005, 10:40

JochenX

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danke, tatsächlich fällt mir grad auf, dass ich keinerlei ahnung habe, wie diese potenzgesetze überhaupt bewiesen werden, wenn man gar keine von ihnen hat

aber: ist a^{-x}=1/a^x nicht nur eine definition an sich von negativen hochzahlen (für x>0)?
also so ganz verstehe ich immer noch nicht den sinn von seinem lemma

wenn man das als def. hat ist a^{-x}*a^{x}=1 natürlich nicht mehr weiter schwer (und damit auch für e)

24.08.2005, 18:58

Trazom

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Hochzahl?

25.08.2005, 10:47

JochenX

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Zitat:

Original von Trazom
Hochzahl?

wegen mir auch: Exponent; a^b <-- das b ist die hochzahl, weil sie "hoch" b genommen wird, daher wohl der name
du kennst den ausdruck hochzahl nicht!?

mfg jochen

25.08.2005, 19:56

Trazom

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nie gehört

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