max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis

23.08.2005, 18:36

Lars

max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis

Moin,

wir sollen den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmen, das an den Seiten einen Halbkreis hat und den Umfang 400m.

Wie man den Umfang ausrechnet hab ich mir schon mal klargemacht:
$\begin{eqnarray*} 2*\frac{b}{2} *\pi + 2 * a = 400m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b *\pi + 2 * a = 400m \end{eqnarray*}$

aber wie bekomme ich für die Gleichung das Maximum von a*b -> also den Flächeninhalt des Rechtecks ?

vielen Dank für Hilfe
(ist natürlich die Hausaufgabe für morgen)

23.08.2005, 19:42

riwe

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis
wenn du schon differenzieren kannst
$\begin{eqnarray*} F(a)=ab=\frac{2a(200-a)}{\pi } \end{eqnarray*}$
und das extremum (maximum) erhältst du mit F´(a) = 0
werner

23.08.2005, 20:03

Lars

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis

Zitat:

Original von wernerrin
wenn du schon differenzieren kannst
$\begin{eqnarray*} F(a)=ab=\frac{2a(200-a)}{\pi } \end{eqnarray*}$
und das extremum (maximum) erhältst du mit F´(a) = 0
werner

Danke

Differenzieren und auf "Nullstelle" berechnen bekomme ich hin.
Ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \pi = \pi \end{eqnarray*}$ wie bei der Eulerrischen Zahl ?

Kannst Du die Formel für mich herleiten, überblicke das aus Anhieb nicht ?
Kommt ein bischen blöde, wenn man dem Lehrer eine Formel zeigt, aber die Herleitung nicht hat ^^.

Danke smile

Danke ^^

23.08.2005, 20:14

Egal

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Die Formel ist zunächst nur die Fläche des Rechtecks und zwar ganz normal wie mand sowas immer berechnet Seite a * Seite b. Das bezeichnet man in einem solchen Zusammenhang oft auch als Hauptbedingung.

Die von dir bereits gefunden Formel für den Umfang ist dann die Nebenbedingung in der offensichtlich auch a und b vorkommen. Wenn man jetzt diese Gleichung nach a oder b auflöst kann man eine Variable in der Hauptbedingung eliminieren und genau das ist dort passiert.

23.08.2005, 20:37

riwe

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis
$\begin{eqnarray*} \pi =\pi \end{eqnarray*}$

pi ist eine konstante, du mußt nach a differenzieren, zuerst ausmultiplizieren!
bitte beachte, was EGAL (wegen der fläche) geschrieben hat!!!
werner

23.08.2005, 21:32

Mathespezialschüler

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Verschoben

23.08.2005, 23:57

Lazarus

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis

Zitat:

Original von Lars
[...]Ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \pi = \pi \end{eqnarray*}$ wie bei der Eulerrischen Zahl ?[...]

HANEBÜCHEND !!!

ich weiss ned warum bisher niemand drauf reagiert hat, aber die ableitung von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist NICHT $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ !!!!

denn e ist genau wie pi eine KONSTANTE und die abgeleitet ergiebt IMMER null !

anders $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ nach x abgeleitet gibt das wieder e^x.

was anderes ist natürlich auch sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=\pi \cdot x^5 \end{eqnarray*}$ nach x abgeleitet ergiebt das dann $\begin{eqnarray*} f'(x)=5\cdot \pi \cdot x^4 \end{eqnarray*}$

also bitte, bitte bitte der genauigkeit halber, sag sowas nicht Augenzwinkern

servus

24.08.2005, 08:29

Lars

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis
Ok, wenn die Ableitung von pi gleich null ist geht die Ableitung auch auf Augenzwinkern

Allerdings mache ich wohl irgendwas bei der Kettenregel falsch. Mit der Produktregel kommt etwas vernünftiges raus, wenn ich die unausgeklammerte Gleichung nehme.
Also:
$\begin{eqnarray*} F(a)=\frac{400*a-2a^{2}}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(a)=\frac{(-4a+1)*\pi}{\pi^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a =\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 127,1647995 \end{eqnarray*}$

Aber wie sieht die erste Ableitung von
$\begin{eqnarray*} f(a)=\frac{2a(200-a)}{\pi } \end{eqnarray*}$
aus ?
Ich bekomme da:
$\begin{eqnarray*} f'(a) = 2(200-a)(-1) \end{eqnarray*}$
Wo dann für a 200 rauskommt ^^.
Also mir ist klar das, dass gleiche rauskommen muss, aber wie sieht der Term ohne vereinfachung aus richtig abgeleitet mit der Kettenregel & Produktregel aus oder wird die Kettenregel hier gar nicht angewand und einfach wie oben wieder ausgeklammert ?

Danke smile

Gruss
Lars.

24.08.2005, 09:15

vrenili

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis

Zitat:

Original von Lars
Allerdings mache ich wohl irgendwas bei der Kettenregel falsch. Mit der Produktregel kommt etwas vernünftiges raus, wenn ich die unausgeklammerte Gleichung nehme.
Also:
$\begin{eqnarray*} F(a)=\frac{400*a-2a^{2}}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(a)=\frac{(-4a+1)*\pi}{\pi^{2} } \end{eqnarray*}$

Deine Ableitungen sind beide leider falsch (wobei Du mit der ersten schon näher an der lösung dran bist Augenzwinkern

)

Schreib das ganze doch besser mal so:
$\begin{eqnarray*} F(a)=\frac{1}{\pi }*(400a-2a^{2}) \end{eqnarray*}$

Dann hast Du eine einfache Faktor-/Summenregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi } \end{eqnarray*}$ ist ne Konstante, bleibt also bei der Ableitung einfach stehen und Du musst nur die Summe in den Klammern nach a ableiten.

Achtung: $\begin{eqnarray*} 400a \end{eqnarray*}$ ergibt nach a abgeleitet NICHT 1 !!!!

EDIT: Ich sehe in dem ganzen übrigens auch keine Kettenregel. Wenn überhaupt, dann im ersten Beispiel die Quotientenregel (aber glücklicherweise steht im Nenner ja keine Funktion!).
Und im zweiten Beispiel hast Du durch das Ausklammern die Anwendung einer Produktregel heraufbeschworen (unnötigerweise, macht das ganze nur komplizierter) , mit dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ im Nenner sieht es wieder nur nach Quotientenregel aus

24.08.2005, 09:38

riwe

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RE: max Flächeninhalt Rechteck mit Kreis
bist du sicher, dass nur über der seite b ein halbkreis sein soll, und nicht auch über a?
da würde die aufgabe dann doch viel hübscher und symmetrischer,
der rechenweg ist derselbe mit dem schönen ergebnis a = b

aber auch wenn man bei deinem ursprünglichen beispiel bleibt: berechne noch einmal den flächeninhalt
F =a*b ist nur die fläche des rechtecks (s. EGAL),
die gesuchte fläche, die zu maximieren ist, lautet
F = F(rechteck) + F(KREIS) ! und erst dann b durch a ersetzen und differenzieren
werner

24.08.2005, 10:04

Xytras

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Zitat:

wir sollen den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmen, das an den Seiten einen Halbkreis hat und den Umfang 400m.

Mag sein dass das jetz daemlich is ( Hammer

) - aber ich les das so dass das Rechteck den Umfang 400m hat und man dann Flaeche(Rechteck) + Flaeche(Kreis) maximieren soll... *wunder*
Wie ist denn der Aufgabentext genau? Kannst Du den bitte Zitieren??

edit: umformuliert da so wie vorher schwachfug...

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