Mengen gegeben durch x;y - Ebene ??

23.08.2005, 18:52

Schnaterbimbam

Mengen gegeben durch x;y - Ebene ??

Hallo ihr lieben Genies,
Ich soll die Durchschnittsmenge von zwei Mengen bilden, daß Problem ist nur das diese Mengen durch die (X;Y)- Ebene dargestellt sind und ich so was wirklich noch nie gesehen habe und folglich nicht den geringsten Hauch einer Ahnung habe was ich nun tun soll.

Das sind die beiden Mengen:

K={(X;Y) e R²/X²+Y²=4}
M={(X;Y) e R²/(X-2)²+Y²=4}

Vielen lieben Dank!
Spam

23.08.2005, 19:25

mercany

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Ich frag jetzt mal ganz dumm allgemein, weil ich mich mit diesen Notationen noch nie befasst habe. Was besagt denn das "/" und der Term dahinter ?

23.08.2005, 19:34

Calvin

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@mercany

Das heißt "für die gilt". Die erste Zeile lautet in Worten also folgendermaßen:

K ist die Menge aller Paare (X,Y) aus R² für die gilt X²+Y²=4

@Schnaterbimbam

Hast du dir die zwei Mengen mal in ein Koordinatensystem gezeichnet? Dann zeigt sich relativ deutlich, was die Schnittmenge ist.

23.08.2005, 19:37

riwe

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ich vermute das
werner

23.08.2005, 20:07

iammrvip

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RE: Mengen gegeben durch x;y - Ebene ??

Zitat:

Original von Schnaterbimbam
Das sind die beiden Mengen:

K={(X;Y) e R²/X²+Y²=4}
M={(X;Y) e R²/(X-2)²+Y²=4}

Hallo

Werner hat das schon sehr schön dargestellt.

Du kannst dir das auf zwei Wege veranschaulichen:

Du erkennst sofort an der Gleichung, dass es sich jeweils um die "Kreisgleichung" handelt:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

So kannst du ablesen: Der Radius bei beiden Kreisen ist 2, da $\begin{eqnarray*} 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$ .

Beim zweiten ist nun noch zu beachten, dass die zwei eine Verschiebung in x-Richtung bewirkt: Allgemein lautet die Kreisgleichung also

$\begin{eqnarray*} (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

wobei der Mittelpunkt des Kreises mit dem Raduis $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} M(x_0|y_0) \end{eqnarray*}$ liegt.

Du kannst dir das ganze auch ganz einfach veranschaulichen, in dem die dir ein x-y-Koordinantensystem aufzeichnest. Dann lässt sich die erste Funtion einfach in der Weise darstellen, dass die die gegebene Gleichnung nach y umstellst:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y_{1/2} = \pm\sqrt{4 - x^2} \quad \forall x \in [-2;2] \end{eqnarray*}$

Wie du siehst erhält man zwei Lösungen. Dabei ist die postive Lösung der Halbkreis mit $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und die negative Lösung der Halbkreis mit $\begin{eqnarray*} y \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Die beiden setzen ja ein Kreis zusammen Augenzwinkern

.

edit: Quadrate ergänzt.....dummer Schreibfehler. Danke LOED.

23.08.2005, 21:13

riwe

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RE: Mengen gegeben durch x;y - Ebene ??
meiner meinung nach besteht der durchschnitt aus den beiden punkten
$\begin{eqnarray*} P(1,\pm \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$
werner

24.08.2005, 00:52

JochenX

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RE: Mengen gegeben durch x;y - Ebene ??

Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} (x - x_0) + (y - y_0) = r^2 \end{eqnarray*}$

ich glaube, da hat wer quadrate vergessen Augenzwinkern

wieso denn immer die graphischen lösungen?
ist natürlich recht, aber das ist doch ein handfestes nichtlineares gleichungssytem

gleichsetzen, -y^2 und schon steht (x-2)^2=x^2 da
=> x=1 usf.

und schon hat man werners lösung....
biete sich doch auch irgendwie an....

mfg jochen

ps: @mercany:
"/" ist sehr ungewöhnlich, normal schreibt man "|" oder ":"
schnater... hat vermutlich den | nicht auf seiner tastatur gefunden

24.08.2005, 17:19

Schnaterbimbam

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Vielen Lieben Dank für eure schnelle Hilfe.
Jetzt habe ichs verstanden Tanzen

Es ist ja gar nicht so schwer wie es erst aussah.

@LOED
Habe das "|" wirklich zuerst nicht auf meiner Tastatur gefunden :-)

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Mengen gegeben durch x;y - Ebene ??

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