[WS] e-Funktion

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Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] e-Funktion
Nun ist der Knoten geplatzt und ich denke es wird langsam mal Zeit, das hier auch was zu geschrieben wird.
Hier eine kleine Aufgabe, mehr oder weniger zusammenhängend zur e-Funktion.

Gegeben ist die Funktion f durch
Ihr Schaubild sei K.
Gegeben ist weiterhin zu jedem r>0 die Funktion durch
Ihr Schaubild sei
a.) Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch, Tief- und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.
Zeichnen Sie und für in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.(Längeneinheit 1cm)

Bestimmung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

x-Achse
















y-Achse




Um Hoch, Tief, und Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die ersten 3 Ableitungen, die ich im folgenden zuerst bestimmt

Man leitet mittels der Produktregel ab.

Also


Also


Eingesetzt ergibt dies




Nun untersuchen wir auf Extrema



Nun die allbekannte Chose, ein Produkt wird dann zu Null, wenn einer der Faktoren zu Null wird
Also


(entfällt, da nie kleiner Null)











Also liegt bei ein Maximum vor

Demnach


Für etwaige Wendepunkte gilt





Somit wäre x=0 die Extremwertverdächtige Stelle


Demnach ist

Asymptoten.
Bedingung



Also ist die x-Achse die waagerechte Asymptote von f(x)
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Workshop]e-Funktion
Die Kurve K und das Schaubild schneiden sich in einem Punkt .
K schließt mit den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch im ersten Feld eine Fläche ein.
Berechnen sie den Inhalt.
In welchem Verhältnis teilt diese Fläche.
Offensichtlich berechnet man zuerst den Schnittpunkt beider Funktion






Also haben wir das folgende Integral zu berechnen


In den Grenzen eingesetzt ergibt sich

(Flächeneinheiten)
Um das Verhältnis bestimmen zu können, errechnet man die Fläche unter



Demnach teilt der Graph die Fläche zur Häfte.
Verhältnis 2:1
 
 
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Workshop]e-Funktion
Zeigen Sie: Für 0 < r < 3 schneiden sich K und in einem Punkt , der im ersten Feld liegt.
schließt dann mit den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch eine Fläche mit dem Inhalt A(r) ein.
Für welchen Wert von r wird A(r) maximal?

Also gegeben ist die Funktion

und


So, nun meine Überlegungen
1. Wie komme ich an den Punkt
Dachte mir, ich setze
Also:




Also wollte ich nun das Integral von in den Grenzen von Null bis bestimmen
Also mache ich das mal

Also ist



Nun soll die Fläche maximal sein und ich setze die erste Ableitung =0
Also






Die zweite Ableitung ist offensichtlich ungleich null und es liegt wegen -2 < 0 ein Maximum vor.

Andy
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Workshop]e-Funktion
Die Höhe einer Pflanze (in Meter) zur Zeit t (in Wochen seit dem Beginn der Beobachtung) soll zunächst durch eine Funktion mit
näherungsweise beschrieben werden.

1.Wie hoch ist die Pflanze zu Beginn der Beobachtung?
Hierzu muss man nur seine Bedingung überlegen und merkt schnell das der Anfang mathematisch t=0 entspricht
Also

Also ist die Pflanze zu Beginn 2 cm hoch.

2.Bestimmen sie k, wenn die Höhe der Pflanze in den ersten 6 Wochen der Beobachtung um 0,48m zugenommen hat.

3.Wie hoch müßte demnach die Pflanze 8 Wochen nach dem Beginn der Beobachtung sein?
Die Pflanze ist nach 8 Wochen tatsächlich nur 1,04 m hoch.
Die Höhe wird deshalb für beschrieben und durch die Funktion mit


4.Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 6 und 8 Wochen.

5. Berechnen die

6.Welche Bedeutung hat dieser Wert für die Pflanze?
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