Stetige Verteilungsfunktion => Grundraum überabzählbar?

23.08.2005, 22:27	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Verteilungsfunktion => Grundraum überabzählbar? Hallo, diesmal ist die Frage recht kurz gestellt. Muss für $\begin{eqnarray} X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ (z.b. $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ ) gelten, dass $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ überabzählbar ist? Natürlich muss $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ erstmal nicht surjektiv sein, aber angenommen $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ wäre abzählbar; wäre dann die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ überall definiert?
23.08.2005, 22:44	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollten diskrete Zufallsgrößen keine reellen Wahrscheinlichkeiten haben dürfen? Ein einfacher Würfelwurf hat eine solche Ergebnismengen-Wahrscheinlichkeits-Abbildung. Normalverteilte größen sind natürlich stetig, aber im Allgemeinen sehe ich nicht, wie du auf die Idee kommst, $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ müsse bei Abbildung auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ überabzählbar sein. Warte aber lieber noch auf die Meinung derer, die etwas von Wahrscheinlichkeitstheorie verstehen, vielleicht stolpere ich gerade über eine Defintion. [edit]Ich sehe gerade, dass da was Entscheidendes in der Überschrift steht, das ich übersehen habe, also bitte ignorieren.[/edit]
23.08.2005, 22:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@papahuhn Auf eine kurze (wenn auch holprig gestellte) Anfrage folgt eine kurze Antwort: Eine Zufallsgröße über einem höchstens abzählbaren Grundraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist immer eine diskrete Zufallsgröße. Dichtefunktionen - zumindest im engeren Sinne, wie er in der Schule gelehrt wird - sind dagegen nur auf absolut-stetige Zufallsgrößen anwendbar. Oder anders ausgedrückt: Stetige Zufallsgrößen kann es zwangsläufig nur auf überabzählbaren Grundräumen geben - ich nehme an, das war es, was du wissen wolltest. P.S.: Der Begriff Dichtefunktion ist in der Maßtheorie deutlich weiter gefasst. Aber darauf wolltest du hier vermutlich nicht hinaus.
23.08.2005, 22:56	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist klar, dass eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ reelle Werte annehmen kann. Ich glaube allerdings intuitiv, dass es Probleme macht, wenn das Bild von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ abzählbar ist. Wenn ich das richtig sehe, wäre die Dichtefunktion dann an abzählbar vielen Stellen größer Null, und im Rest gleich Null. Das Integral dadrüber wäre aber kaum Eins, und die Funktion gar keine Dichtefunktion. Edit: Ok, Arthur Dent's Antwort war das, was ich wissen wollte. Danke sehr.

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