Optimierungsaufgabe(Textaufgabe)

23.08.2005, 22:41

Gretchen

Optimierungsaufgabe(Textaufgabe)

Hallo!
Ich habe hier eine Optimierungs-Aufgabe, bei der ich nicht durchblicke. Habe schon ein paar ähnliche Aufgaben von der Art gerechnet, doch diese hier hat es in sich.

Ein Unternehmen stellt zwei Hauptprodukte $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ her.
Bei der Herstellung von Produkt $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ fällt zudem noch ein sog. Kuppelprodukt (..was ist ein Kuppelprodukt???) K an, welches keinen Verkaufswert hat, allerdings zur Produktion von Produkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ benötigt wird;
einerseits fallen 0.5 ME des Kuppelproduktes K pro hergestellter ME von Produkt $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ an, andererseits werden 3 ME von K bei der Herstellung von 1 ME von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ verarbeitet.
Das Kuppelprodukt kann nicht gelagert werden, sondern muss entsorgt werden, soweit es nicht bei der Herstellung von Produkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ aufgebraucht wird.
Zusätzlich geht noch ein Rohstoff R, welcher pro Planungsperiode in Höhe von 120 ME zur Verfügung steht, in die Produktion der beiden Hauptprodukte ein, und zwar mit 2 ME pro ME von Produkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und mit 3 ME pro ME von Produkt $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ .
Die Stückdeckungsbeiträge der Produkte $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ betragen 10 bzw. 20 GE/ME.

Gesucht ist ein mathematisches Modell, in dem der Gesamtdeckungsbeitrag maximiert wird und Entsorgungskosten zunächst nicht berücksichtigt werden.

Dann soll das Modell dahingehend erweitert werden, dass Entsorgungskosten mit einem Kostensatz von 4 GE pro zu entsorgender ME des Kuppelproduktes K berücksichtigt werden.

Zielfunktion
$\begin{eqnarray*} z(x_1,x_2)=10x_1 + 20x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$

u.d.N.

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 3x_2 \leq 120 \end{eqnarray*}$ (für den Rohstoff R)

wie bekomme ich das Kuppelprodukt K in den Nebenbedingungen unter und stimmt die Zielfunktion überhautp?!
Hilfe

25.08.2005, 01:55

dfgdfg

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Hallo, süsser Nickname =), also :

$\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ist die Menge von $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ in ME , $\begin{eqnarray*} i=1,2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das meinst ist deine Zielfunktion und die Nebenbedingung für R schonmal richtig

Jetzt zu K :

Wenn $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ die produzierte Menge von $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 0.5x_2 \end{eqnarray*}$ die Menge von K in ME, die dabei anfällt.
Und wenn $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ die produzierte Menge von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ in ME ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 3x_1 \end{eqnarray*}$ die Menge von K, die verbraucht wird.

Nach der Produktion bleibt also ein Rest von $\begin{eqnarray*} 0.5x_2-3x_1 \end{eqnarray*}$ von K übrig. Insgesamt ergibt sich die NB :
$\begin{eqnarray*} 0.5x_2-3x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ (Der Rest kann ja auch genau 0 sein.)

Was ein Kuppelprodukt ist weiss ich au nich, ich hoffe das is nichts versautes *g

25.08.2005, 08:46

riwe

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nachschauen hilft: kuppelprodukt
werner

25.08.2005, 09:51

Gretchen

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Guten Morgen!

Stimmt. Nachschauen hilft smile

, danke für den Link!

Zu a haben wir als Optimum $\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2=40 \end{eqnarray*}$ mit dem Simplex-Verfahren ausgerechnet, das sollte eigentlich stimmen?!

Bei Aufgabe b) sind wir uns nicht ganz einig,
als Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} z(x_1,x_2,x_3)=10x_1 + 20x_2 + 4x_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ für das Kuppelprodukt

u.d.N

$\begin{eqnarray*} 3 x_1 - 0.5 x_2 + 3.5 x_3 \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 x_1 + 3 x_2 \leq 120 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.5 x_1 \leq 4 \end{eqnarray*}$

Stimmen die Nebenbedingungen? Es müssen doch drei Nebenbedingungen sein, oder?

25.08.2005, 10:45

kurellajunior

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a) stimmt nach einfachem drüber nachdenken offensichtlich
b)Deine Zielfunktion stimmt nicht, da die Entsorgung des Kuppelproduktes Geld kostet:
$\begin{eqnarray*} z(x_1,x_2,x_3)=10x_1 + 20x_2 - 4x_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ für das Kuppelprodukt
Wir wissen doch für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ bereits was es ist: $\begin{eqnarray*} x_3= 0{,}5x_2-3x_1 \end{eqnarray*}$ Wenn gilt $\begin{eqnarray*} 0{,}5x_2-3x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Also ergibt sich
$\begin{eqnarray*} z(x_1,x_2)=22x_1 + 18x_2 \end{eqnarray*}$

Und als Bedingungen bleiben
$\begin{eqnarray*} 0{,}5x_2-3x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 x_1 + 3 x_2 \leq 120 \end{eqnarray*}$

Die beiden verstehe ich nicht... Was sollen die Besagen? Außerdem brauchen wir jetzt nur noch 2 Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 3 x_1 - 0.5 x_2 + 3.5 x_3 \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3.5 x_1 \leq 4 \end{eqnarray*}$

Hilft das soweit, jetzt ja nur noch nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ so optimieren, dass die erste Nebenbedingung erfüllt ist...

Jan

Edit: Da mir Simplex nix sagt, mit Überlegen gelöst und überprüft, Lösung scheint zu stimmen. Der Weg scheint also zum Erfolg zu führen. Jan

25.08.2005, 11:13

Gretchen

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Danke!
Da wär ich ja nie drauf gekommen..glaub ich Mit Zunge

25.08.2005, 11:21

kurellajunior

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Gern geschehen, willst Du noch eine zum Üben?

25.08.2005, 22:26

Gretchen

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Ja bitte! Her damit! ..das ist ja mal nett smile

26.08.2005, 11:03

kurellajunior

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So dann machen wir mal ne Schwierigkeitsstufe rauf:

Ein Unternehmen stellt drei Hauptprodukte $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ .
Für die Produkte wird ein Rohstoff $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ benötigt.
Bei der Herstellung von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ entsteht ein Kuppelprodukt $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$
Hier siehst du eine Tabelle, die die notwendigen ME zur Produktion (R und K) und den Gewinn aus dem Verkauf (G) zeigt:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	P \| R \| K \| G ---+---+---+--- 1 \| 2 \|-5 \| 10 ---+---+---+--- 2 \| 1 \|-2 \| 25 ---+---+---+--- 3 \| 4 \| 4 \| 35

negative Zahlen beim Kuppelprodukt bedeuten, dass dieses bei der Produktion entsteht.

Gesucht ist ein mathematisches Modell, in dem der Gesamtdeckungsbeitrag maximiert wird und Entsorgungskosten zunächst nicht berücksichtigt werden.

Dann soll das Modell dahingehend erweitert werden, dass Entsorgungskosten mit einem Kostensatz von 4 GE pro zu entsorgender ME des Kuppelproduktes K berücksichtigt werden.

Viel Spaß Augenzwinkern

zeig mal hier die Rechnung, ist nämlich ein wenig herausfordernder.

Jan

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